六个不同元素依次进栈，能得到 种不同的出栈序列。（北京邮电大学2007年） A．42 B．82 C．132 D．192

这道题可以用卡特兰数的公式解决。

首先，我们可以得到一个结论：对于 $n$ 个元素的栈，它的出栈序列个数为卡特兰数 $C_n$。

证明可以参考以下思路：

我们考虑对于 $n$ 个元素的栈，任选一个元素 $x$，那么 $x$ 要么先被弹出，要么后被弹出。如果 $x$ 先被弹出，那么剩下的 $n-1$ 个元素构成的栈有 $C_{n-1}$ 种出栈序列；如果 $x$ 后被弹出，那么弹出顺序与 $x$ 无关，剩下的 $n-1$ 个元素构成的栈有 $C_{n-1}$ 种出栈序列。所以，对于 $n$ 个元素的栈，它的出栈序列个数为 $C_n=C_{n-1}\times C_{n-1}$。

另外，$C_0=1$，因为空栈也算一种出栈序列。

所以，对于本题，有 $n=6$，根据卡特兰数的公式 $C_n=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$，我们可以得到答案为：

$$
C_6=\frac{(2\times6)!}{6!(6+1)!}=\frac{12\times11\times10\times9\times8\times7}{6\times5\times4\times3\times2}=132
$$

所以，答案选 C。

相关问题

n个不同元素进栈，能得到多少种不同的出栈序列

### 回答1：
当一个元素要出栈时，它前面的元素必须已经出栈了，因此出栈顺序是由已经出栈的元素决定的。对于一个长度为n的序列，可以先将第一个元素入栈，然后对于剩下的n-1个元素，可以选择将它们中的任意一个入栈，也可以选择将已经入栈的元素中的任意一个出栈，直到所有元素都已经入栈且出栈。

因此，假设有n个不同的元素，它们进栈的顺序已经确定，那么对于每一个元素，它都有两种可能的情况：要么它被压入栈中，要么它已经在栈中等待出栈。因此，对于n个元素，就有2^n种可能的出栈顺序。

注意，这里假设每个元素都是不同的，如果存在相同的元素，则需要考虑它们的排列组合情况，具体方法可以参考计算排列组合的方法。

### 回答2：
假设有 n 个不同元素要依次进栈，并且它们的顺序可以任意排列。那么我们可以通过对这些元素进行出栈操作，得到不同的出栈序列。

对于一个长度为 n 的出栈序列，我们可以将其看作是一个由 n 个进栈操作和 n 个出栈操作组成的序列。进栈操作和出栈操作必须遵循以下两个规则：

1. 进栈操作必须在出栈操作之前。也就是说，在任意一个出栈操作之前，必然存在一个相应的进栈操作。
2. 在任意一个出栈操作之前，它之前的出栈操作的数量必须大于或等于进栈操作的数量。也就是说，对于任意一个出栈操作，它之前的出栈操作的数量必须大于或等于它之前的进栈操作的数量。

根据以上规则，我们可以推导出以下结论：

1. 对于一个长度为 n 的出栈序列，最开始的进栈操作必然是第一个操作，最后的出栈操作必然是最后一个操作。也就是说，首先进栈的元素是最后一个出栈的元素，最后进栈的元素是第一个出栈的元素。

2. 在第一个出栈操作之前，只能进行进栈操作，不能进行出栈操作。在第一个出栈操作之后，进栈操作和出栈操作可以交替进行，但是在每个出栈操作之前，必须先进行相应的进栈操作。

根据以上结论，我们可以得出结论：对于 n 个不同元素进栈，可以得到 C(n) 种不同的出栈序列，其中 C(n) 代表 n 的卡特兰数。

卡特兰数是一个非常常见的数列，在计数问题中经常出现。计算卡特兰数的公式为：C(n) = C(0) * C(n-1) + C(1) * C(n-2) + … + C(n-1) * C(0)

具体而言，对于 n 个不同元素进栈，可以得到 C(n) 种不同的出栈序列。其中，C(0) = 1，C(1) = 1，C(2) = 2，C(3) = 5，C(4) = 14，C(5) = 42，以此类推。

因此，n 个不同元素进栈，可以得到 C(n) 种不同的出栈序列。

### 回答3：
假设有n个不同元素进栈，我们可以采用递归的方式来计算得到不同的出栈序列的数量。

首先，我们知道在任何一个出栈序列中，第一个元素都是进栈的最后一个元素。假设最后一个元素进栈后，剩余的n-1个元素的出栈序列的数量为f(n-1)。
那么，在剩余的n-1个元素的出栈序列的基础上，我们需要找到一个合适的出栈位置来插入第一个元素。对于第一个元素而言，它可以插入到n-1个位置中的任意一个。因此，插入第一个元素后，剩余的n-1个元素的出栈序列的数量为f(n-1)*n。
综上所述，n个不同元素进栈能得到的不同出栈序列的数量为f(n) = f(n-1)*n。

根据以上的递推关系，我们可以得到以下的计算公式：
f(1) = 1 (只有一个元素进栈，所以只有一种出栈序列)
f(n) = f(n-1)*n (n > 1)

例如，当n=3时，首先最后一个元素进栈，在剩余的2个元素的出栈序列的基础上，插入第一个元素的位置有3种，所以有6种不同的出栈序列。

因此，n个不同元素进栈能得到的不同出栈序列的数量为f(n) = n!，即n的阶乘。

设有A、B、C、D四个元素顺序进栈，在进栈过程可以出栈，出栈次序错误的排列是

四个元素顺序进栈，共有 4! = 24 种出栈次序，其中有且仅有一种是正确的出栈次序。错误的排列包括：

1. A B C D
2. A B D C
3. A C B D
4. A D B C
5. B A C D
6. B A D C
7. B C A D
8. B D A C
9. C A B D
10. C B A D
11. C D A B
12. D A B C
13. D B A C
14. D C B A

正确的出栈次序是：D C B A。