xy^2z^3−1=3xy−z,计算 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y 在点 (−3,3,1)处的值
时间: 2023-08-31 15:34:58 浏览: 110
### 回答1:
我们可以使用偏导数公式来计算这两个偏导数:
∂z/∂x = (partial derivative of z with respect to x) = (2xy^2)/(3z^2 + 1) - 3y
∂z/∂y = (partial derivative of z with respect to y) = (2x^2yz)/(3z^2 + 1) + 3x
现在我们需要将点 (-3, 3, 1) 代入这些公式中,以计算这些偏导数在该点处的值:
∂z/∂x = (2(-3)(3)^2)/(3(1)^2 + 1) - 3(3) = -54/10 = -5.4
∂z/∂y = (2(-3)^2(3)(1))/(3(1)^2 + 1) + 3(-3) = -45/10 = -4.5
因此,在点 (-3, 3, 1) 处,∂z/∂x 的值为 -5.4,∂z/∂y 的值为 -4.5。
### 回答2:
首先,我们可以对原方程两边关于x求偏导数,得到:
2xy^2z^3 - 1 = 3y - 1 ..................... (1)
然后,对方程两边关于y求偏导数,得到:
xy^2 * 3z^2 * 3z - 0 = 3x ....................... (2)
将点(-3, 3, 1)代入方程式(1)和(2)中,可以得到两个方程:
2 * (-3) * (3^2) * (1^3) - 1 = 3 * 3 - 1
-162 - 1 = 8 - 1
-163 = 7
和
-3 * (3^2) * 3 = 3 * (-3)
-81 * 3 = -9
-243 = -9
因此,在点(-3, 3, 1)处,∂z/∂x的值为7,∂z/∂y的值为-9。
### 回答3:
首先,我们可以进行方程的化简。给定方程xy^2z^3−1=3xy−z,将其整理得到
xy^2z^3 - 3xy + z - 1 = 0。
我们可以使用偏导数来求解 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y。偏导数的定义是将除了需要求导的变量外的其他变量视为常数,然后对需要求导的变量进行求导。
对于 ∂z/∂x,我们将 y 和 z 视为常数。我们对方程两边关于 x 求导,得到
(y^2z^3)·(1) - (3y) = 0,
即 y^2z^3 - 3y = 0,
因此 ∂z/∂x = 3y / y^2z^3 = 3 / yz^3。
对于 ∂z/∂y,我们将 x 和 z 视为常数。我们对方程两边关于 y 求导,得
(2xyz^3) - (0) -1 = 0,
即 2xyz^3 - 1 = 0,
因此 ∂z/∂y = 1 / 2xz^3。
现在,我们需要在点 (-3, 3, 1) 处计算 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y 的值。
代入 x = -3, y = 3, z = 1,我们有
∂z/∂x = 3 / (3 * 1^3) = 1,
∂z/∂y = 1 / (2 * -3 * 1^3) = -1/6。
因此,点 (-3, 3, 1) 处 ∂z/∂x 的值为 1,∂z/∂y 的值为 -1/6。