矩阵连乘的乘法次数最优问题
时间: 2024-05-17 20:14:59 浏览: 29
矩阵连乘的乘法次数最优问题是指对于给定的一组矩阵序列,确定它们相乘的顺序,使得计算它们的乘积所需的标量乘法次数最少。
设矩阵 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 的规模分别为 $p_{0}\times p_{1}, p_{1}\times p_{2}, \cdots, p_{n-1}\times p_{n}$。为了计算它们的乘积 $A_1A_2\cdots A_n$,可以将其划分成若干个子序列相乘的形式,例如 $(A_1A_2)(A_3A_4A_5)\cdots(A_{n-1}A_n)$。其中,每个子序列的乘积可以递归地计算出来,而计算子序列的乘积涉及到的标量乘法次数取决于子序列中相邻两个矩阵的规模。
因此,矩阵连乘最优问题可以通过动态规划的方法解决。具体来说,设 $m_{i,j}$ 表示计算 $A_iA_{i+1}\cdots A_j$ 所需的最少标量乘法次数,则有如下递推式:
$$
m_{i,j}=\begin{cases}
0 & i=j \\
\min\limits_{i\leq k<j}\{m_{i,k}+m_{k+1,j}+p_{i-1}p_kp_j\} & i<j
\end{cases}
$$
其中,当 $i=j$ 时,$m_{i,j}=0$,因为只有一个矩阵不需要做乘法。当 $i<j$ 时,$m_{i,j}$ 的值可以通过枚举 $A_iA_{i+1}\cdots A_j$ 中最后一次乘法的位置 $k$ 来计算,即先计算 $A_iA_{i+1}\cdots A_k$ 和 $A_{k+1}A_{k+2}\cdots A_j$ 的乘积,需要的标量乘法次数为 $m_{i,k}+m_{k+1,j}+p_{i-1}p_kp_j$。
最终的最优解为 $m_{1,n}$,即计算整个矩阵序列的乘积所需的最少标量乘法次数。
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