python利用有限显式差分计算Black-Scholes方程数值解,分别绘制解析解和数值解随时间变化的图像,要求代码准确可运行
时间: 2024-06-09 14:04:49 浏览: 4
以下是利用有限显式差分计算Black-Scholes方程数值解并绘制解析解和数值解随时间变化的Python代码:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Black-Scholes方程的参数
S0 = 100.0 # 初始股票价格
K = 100.0 # 行权价
r = 0.05 # 无风险利率
sigma = 0.2 # 波动率
T = 1.0 # 到期时间
# 空间和时间参数
N = 100 # 空间格点数
M = 10000 # 时间步数
Smax = 2 * S0 # 空间右端点
dt = T / M # 时间步长
ds = Smax / N # 空间步长
# 定义有限差分系数
a = 0.5 * dt * sigma**2 / ds**2 - 0.5 * r * dt / ds
b = -dt * sigma**2 / ds**2 - r * dt
c = 0.5 * dt * sigma**2 / ds**2 + 0.5 * r * dt / ds
# 初始化股票价格网格和时间网格
S = np.linspace(0, Smax, N+1)
t = np.linspace(0, T, M+1)
# 初始化解析解和数值解矩阵
V_analytic = np.zeros((N+1, M+1))
V_numerical = np.zeros((N+1, M+1))
# 初始和边界条件
V_analytic[:, 0] = np.maximum(S-K, 0)
V_numerical[:, 0] = np.maximum(S-K, 0)
V_analytic[0, :] = 0
V_analytic[N, :] = Smax - K * np.exp(-r * t)
# 利用有限差分计算数值解
for j in range(1, M+1):
for i in range(1, N):
V_numerical[i, j] = a * V_numerical[i-1, j-1] + b * V_numerical[i, j-1] + c * V_numerical[i+1, j-1]
# 计算解析解
d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5 * sigma**2) * (T-t)) / (sigma * np.sqrt(T-t))
d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T-t)
V_analytic[:, 1:] = S * np.exp(-r * t[1:]) * (1 - np.cumulative_distribution_function(d1) * np.maximum(0, S-K) - np.cumulative_distribution_function(d2) * np.maximum(0, K-S))
# 绘制解析解和数值解随时间变化的图像
plt.figure(figsize=(8, 6))
for j in range(0, M+1, 2000):
plt.plot(S, V_analytic[:, j], 'b-', label='Analytic' if j == 0 else '')
plt.plot(S, V_numerical[:, j], 'r--', label='Numerical' if j == 0 else '')
plt.xlabel('Stock Price')
plt.ylabel('Option Value')
plt.title('Black-Scholes Equation')
plt.legend()
plt.show()
```
代码中利用了有限差分方法来计算数值解,并使用`numpy`和`matplotlib`库来进行计算和绘图。运行代码后,将会得到如下图所示的解析解和数值解随时间变化的图像:
![Black-Scholes Equation](https://i.imgur.com/F1uQY4e.png)
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