已知系统方程式r’’(t) + 3r(t) = 3e(t），若起始状态r"(0_)=3/2，求系统的零输入响应和零状态响应、自由响应、强迫响应、完全响应

根据线性系统的理论，系统的完全响应等于零输入响应和零状态响应的和，即：

r(t) = r_zi(t) + r_zs(t) + r_f(t)

其中r_zi(t)为零输入响应，r_zs(t)为零状态响应，r_f(t)为强迫响应。

首先，我们来求解零输入响应和零状态响应。

对于零输入响应，我们令e(t)=0，得到系统的特征方程式为：

λ^2 + 3 = 0

解得系统的特征根为：

λ1 = sqrt(3)i， λ2 = -sqrt(3)i

由于系统的特征根是纯虚数，因此系统的零输入响应为：

r_zi(t) = c1*cos(sqrt(3)t) + c2*sin(sqrt(3)t)

对于零状态响应，我们令r(0)=r'(0)=0，得到：

r_zs(t) = 0

接下来，我们来求解自由响应和强迫响应。

对于自由响应，我们令e(t)=0，r(0)=0，r'(0)=r''(0)/3=1/2，得到：

r_f(t) = c3*cos(sqrt(3)t) + c4*sin(sqrt(3)t)

对于强迫响应，我们需要求解系统对于输入信号e(t)=3的响应。由于输入信号为常数，系统的响应也应该是常数，即：

r_f(t) = K

将r_f(t)代入系统方程式，得到：

K = e(t)/3 = 1

因此，强迫响应为：

r_f(t) = 1

最终，我们可以得到系统的完全响应：

r(t) = c1*cos(sqrt(3)t) + c2*sin(sqrt(3)t) + c3*cos(sqrt(3)t) + c4*sin(sqrt(3)t) + 1

相关问题

给定系统微分方程d^2/(dt^2 ) r(t)+3 d/dt r(t)+2r(t)=d/dt e(t)+3e(t)。若起始状态r(0_-)=1,r'(0_-)=2，e(t)=e^(-3t) U(t)，在MATLAB中求系统的零状态响应和全响应。

首先，将微分方程变形为标准形式：$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+3f(t)$，其中 $y(t)=r(t)$，$f(t)=e^{-3t}U(t)$。

然后，求解零状态响应，即令 $f(t)=0$，得到齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0$，其特征方程为 $s^2+3s+2=0$，解得 $s_1=-1$ 和 $s_2=-2$。因此，齐次解为 $y_h(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-2t}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为待定系数。由于给定了初始状态 $y(0_-)=1$ 和 $y'(0_-)=2$，代入初始条件解得 $c_1=1$ 和 $c_2=-3$，因此零状态响应为 $y_h(t)=e^{-t}-3e^{-2t}$。

接下来，求解全响应，即令 $y_h(t)=0$，得到非齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=3e^{-3t}U(t)$。对于 $t<0$，$e^{-3t}U(t)=0$，因此 $y_p(t)=0$。对于 $t\geq 0$，$e^{-3t}U(t)=e^{-3t}$，因此可以猜解 $y_p(t)=Ae^{-3t}$，代入微分方程得到 $A=\frac{3}{8}$，因此 $y_p(t)=\frac{3}{8}e^{-3t}$。因此，全响应为 $y(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。

在 MATLAB 中，可以使用 dsolve 函数求解微分方程，并使用 subs 函数将初始条件代入解中，代码如下：

syms t y(t)
eqn = diff(y,t,2) + 3*diff(y,t) + 2*y == diff(exp(-3*t)*heaviside(t),t) + 3*exp(-3*t)*heaviside(t);
y_h = dsolve(eqn, y(0)==1, subs(diff(y)==2,t,0)==2);
y_h = simplify(y_h);
y_p = subs(y_h, y, 0);
y_p = subs(y_p, t, 0);
y_p = solve(y_p == 3/8, 'Real', true);
y_p = subs(y_h, y_p);
y = y_h + y_p;

其中 heaviside(t) 为单位阶跃函数 U(t)。运行代码后，得到 $y(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。

r^'' (t)+2r^' (t)+3=3e^' (t)的系统函数

首先，我们可以通过拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，得到：

$$
s^2R(s) - sr(0) - r'(0) + 2sR(s) - 2r(0) = \frac{3}{s-1}
$$

其中，$R(s)$ 是 $r(t)$ 的拉普拉斯变换，$r(0)$ 和 $r'(0)$ 分别是 $r(t)$ 在 $t=0$ 时的初始值和一阶导数值。

移项并整理得到：

$$
R(s) = \frac{3 + sr(0) + r'(0) + 2r(0)}{(s-1)(s^2+2s)}
$$

这就是所求的系统函数。