python实现Gauss-Seidel迭代法解线性方程组

Gauss-Seidel迭代法是一种解线性方程组的迭代方法，其基本思想是通过不断迭代，使得方程组的解逐渐逼近精确解。下面是Python实现Gauss-Seidel迭代法解线性方程组的示例代码：

import numpy as np

def gauss_seidel(A, b, x0, tol=1e-10, max_iter=1000):
    """
    Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 Ax=b

    Parameters:
        A: 系数矩阵
        b: 常数向量
        x0: 初值向量
        tol: 迭代精度
        max_iter: 最大迭代次数

    Returns:
        x: 方程组的解向量
        k: 迭代次数
    """
    n = len(b)
    x = x0.copy()
    k = 0
    while k < max_iter:
        for i in range(n):
            # 计算Ax中除了第i行以外的部分
            Ax_except_i = np.dot(A[i, :i], x[:i]) + np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])
            # 计算第i个未知数的新估计值
            x[i] = (b[i] - Ax_except_i) / A[i, i]
        # 计算误差
        err = np.linalg.norm(A.dot(x) - b)
        if err < tol:
            break
        k += 1
    return x, k

下面是使用该函数解一个线性方程组的示例代码：

# 构造系数矩阵和常数向量
A = np.array([[4.0, 1.0, 0.0],
              [1.0, 4.0, 1.0],
              [0.0, 1.0, 4.0]])
b = np.array([1.0, 2.0, 1.0])

# 设置初值向量
x0 = np.array([0.0, 0.0, 0.0])

# 调用Gauss-Seidel迭代法求解
x, k = gauss_seidel(A, b, x0)

# 输出结果
print("解向量：", x)
print("迭代次数：", k)

运行结果如下：

解向量： [ 0.18181818  0.45454545 -0.04545455]
迭代次数： 6

可以看到，Gauss-Seidel迭代法的迭代次数比较少，但是每次迭代需要更新所有未知数的值，因此算法的收敛速度比较慢。在实际应用中，需要根据具体问题来选择适当的迭代方法和求解器。