计算 ∫ ∫ D √ x 2 + y 2 d A ， 其中 D 是图4中的区域 F : x 2 + y 2 = 4 G : ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 R f = 2 R g = 1 ∫ ∫ D √ x 2 + y 2 d A =

首先，我们可以观察图形，发现它们是两个圆的交集，因此可以使用极坐标系来求解，其中 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。

对于内圆 $G: (x-1)^2+y^2=1$，变换为极坐标系得到：
$$
r\cos\theta - 1 = 1 \Rightarrow r\cos\theta = 2
$$
因为 $r>0$，所以 $2\cos\theta \leq r \leq 2$。

对于外圆 $F: x^2+y^2=4$，变换为极坐标系得到：
$$
r^2 = 4 \Rightarrow r = 2
$$

因此，积分式可以变为：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{2\cos\theta}^{2}r \cdot r \, drd\theta
$$

计算积分得到：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{2\cos\theta}^{2}r^2 \, drd\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{r^3}{3}\right]_{2\cos\theta}^{2}d\theta \\
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{8}{3}-\frac{8\cos^3\theta}{3}d\theta = \left[\frac{8}{3}\theta + \frac{2\sin(2\theta)}{3}-\frac{8\sin\theta}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
= \frac{4\pi}{3}-\frac{16}{3}
$$

因此，$\iint_D \sqrt{x^2+y^2}dA = \frac{4\pi}{3}-\frac{16}{3}$。