运用柱坐标系计算三重积分 ∫ ∫ ∫ E √ x 2 + y 2 d V ，其中 E 是由 圆形抛物面 z = 1 − 16 ( x 2 + y 2 ) 和 x y 平面界定的区域

在柱坐标系下，被积函数为：

f(r,θ,z) = √(r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) * r = r^2

积分区域 E 由圆形抛物面 z = 1 − 16 ( x 2 + y 2 ) 和 x y 平面界定，可以表示为：

0 ≤ z ≤ 1 − 16(r^2)，0 ≤ r ≤ √(1/16-z)，0 ≤ θ ≤ 2π

将 f(r,θ,z) 代入三重积分的公式，得到：

∫0^1-16∫0^2π∫0^√(1/16-z) r^2 * r drdθdz

对 r 进行积分，得到：

∫0^1-16∫0^2π∫0^√(1/16-z) r^3 drdθdz = ∫0^1-16∫0^2π [(1/4) * (1/16-z)^(3/2)] dθdz

对 θ 和 z 进行积分，得到：

∫0^1-16∫0^2π [(1/4) * (1/16-z)^(3/2)] dθdz = (1/2) * π * ∫0^1-16 (1/4) * (1/16-z)^(3/2) dz

令 u = 1/16 - z，代入得：

(1/2) * π * ∫0^(1/16) (1/4) * u^(3/2) du = (1/10) * π * (1/16)^(5/2) = π/5120

因此，所求的三重积分的值为 π/5120。