运用柱坐标系计算三重积分 ∫ ∫ ∫ E √ x 2 + y 2 d V ,其中 E 是由 圆形抛物面 z = 1 − 16 ( x 2 + y 2 ) 和 x y 平面界定的区域
时间: 2024-04-01 10:31:35 浏览: 26
在柱坐标系下,被积函数为:
f(r,θ,z) = √(r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) * r = r^2
积分区域 E 由圆形抛物面 z = 1 − 16 ( x 2 + y 2 ) 和 x y 平面界定,可以表示为:
0 ≤ z ≤ 1 − 16(r^2),0 ≤ r ≤ √(1/16-z),0 ≤ θ ≤ 2π
将 f(r,θ,z) 代入三重积分的公式,得到:
∫0^1-16∫0^2π∫0^√(1/16-z) r^2 * r drdθdz
对 r 进行积分,得到:
∫0^1-16∫0^2π∫0^√(1/16-z) r^3 drdθdz = ∫0^1-16∫0^2π [(1/4) * (1/16-z)^(3/2)] dθdz
对 θ 和 z 进行积分,得到:
∫0^1-16∫0^2π [(1/4) * (1/16-z)^(3/2)] dθdz = (1/2) * π * ∫0^1-16 (1/4) * (1/16-z)^(3/2) dz
令 u = 1/16 - z,代入得:
(1/2) * π * ∫0^(1/16) (1/4) * u^(3/2) du = (1/10) * π * (1/16)^(5/2) = π/5120
因此,所求的三重积分的值为 π/5120。
相关问题
运用柱坐标系计算三重积分 ∫ ∫ ∫ E √ x 2 + y 2 d V ,其中 E 是由 圆形抛物面 z = 9 − 1 ( x 2 + y 2 ) 和 x y 平面界定的区域。
首先,我们需要将积分区域 E 的描述转换为柱坐标系下的描述。由于 E 是由圆形抛物面和 xy 平面界定的区域,因此圆形抛物面的方程可以转换为:
ρ^2 = 9 - z
其中,ρ 和 z 分别是柱坐标系下的径向和轴向坐标。将其转换为极坐标系下的描述:
ρ^2 = 9 - z = 9 - ρ^2 cos^2 θ - ρ^2 sin^2 θ = 9ρ^2 sin^2 θ
因此,我们可以得到积分区域 E 在柱坐标系下的描述:
0 ≤ ρ ≤ 3sinθ
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ z ≤ 9 - ρ^2
接下来,我们可以将积分区域 E 中的积分式转换为柱坐标系下的积分式:
∫∫∫E √x^2 + y^2 dV = ∫∫∫E ρ√(ρ^2 cos^2 θ + ρ^2 sin^2 θ)ρ dρdθdz
= ∫0^2π ∫0^3sinθ ∫0^(9-ρ^2) ρ^2 sinθdρdθdz
= ∫0^2π ∫0^3sinθ [(1/3)(9-ρ^2)^3/2]sinθdρdθ
= 2π ∫0^3 [-(1/15)(9-ρ^2)^(5/2)]dρ
= 2π [(2/15)9^(5/2) - (2/15)∫0^3 ρ^5/2 dρ]
= 2π [(2/15)9^(5/2) - (4/21)3^(7/2)]
= 2π [(8/105)9^(5/2) - (4/21)3^(7/2)]
因此,所求的三重积分的结果为 2π [(8/105)9^(5/2) - (4/21)3^(7/2)]。
用球坐标计算三重积分 ∭ E e − ( x 2 + y 2 + z 2 ) √ x 2 + y 2 + z 2 d V , 其中 E 是由球体 x 2 + y 2 + z 2 = 1 和 x 2 + y 2 + z 2 = 9 界定的区域。
首先,由球坐标的转换公式可得,$x=r\sin\theta\cos\phi$,$y=r\sin\theta\sin\phi$,$z=r\cos\theta$。
则球 $x^2+y^2+z^2=1$ 对应的球坐标为 $0\leq r\leq 1$,$0\leq\theta\leq\pi$,$0\leq\phi\leq 2\pi$。
球 $x^2+y^2+z^2=9$ 对应的球坐标为 $1\leq r\leq 3$,$0\leq\theta\leq\pi$,$0\leq\phi\leq 2\pi$。
因此,原三重积分可表示为
$$
\begin{aligned}
&\iiint_Ee^{-(x^2+y^2+z^2)}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\mathrm{d}V\\
=&\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_1^3e^{-r^2}r^3\sin\theta\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\\
=&2\pi\int_0^\pi\sin\theta\mathrm{d}\theta\int_1^3e^{-r^2}r^3\mathrm{d}r\\
=&\pi\bigg[-\frac{1}{2}e^{-r^2}(r^2+2)\bigg]_1^3\\
=&\frac{\pi}{2}(e^{-1}-e^{-9})(11)
\end{aligned}
$$
因此,所求结果为 $\frac{\pi}{2}(e^{-1}-e^{-9})(11)$。
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