用C语言写指数贝尔多项式

指数贝尔多项式是一类特殊的数学函数，可以用递归方式来定义。它的递归定义如下：

$$
B_{n+1}^{(x)} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} B_k^{(x)} \frac{(x+k+1)^{n-k+1} - (x-k)^{n-k+1}}{n-k+1}
$$

其中，$B_n^{(x)}$ 表示 $n$ 阶指数贝尔多项式。特别地，$B_0^{(x)} = 1$。

下面是用 C 语言实现指数贝尔多项式的代码：

#include <stdio.h>

double bell(int n, double x) {
    double b[n+1]; // 存储中间结果
    b[0] = 1.0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] = 0.0;
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            b[i] += b[j] * binomial_coefficient(i-1, j) * ((x+j+1) * pow(x+j+1, i-j-1) - (x-j) * pow(x-j, i-j-1));
        }
        b[i] /= i;
    }
    return b[n];
}

double binomial_coefficient(int n, int k) {
    double result = 1.0;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        result *= (double)(n-k+i) / i;
    }
    return result;
}

int main() {
    double x = 1.0;
    for (int n = 0; n <= 10; n++) {
        printf("B_%d^(%.1f) = %f\n", n, x, bell(n, x));
    }
    return 0;
}

这里使用了一个数组 `b` 来存储中间结果，避免重复计算。函数 `binomial_coefficient` 用来计算二项式系数。在主函数中，我们设定了 $x=1.0$，并计算了前 11 阶指数贝尔多项式的值。