(y)dx＋(x－y^3)dy=0求解详细过程

这是一道微分方程的求解问题。首先，将方程变形为：

dy/dx = (y-x)/(x-y^3)

然后，令v=y/x，将方程转化为：

dv/dx = (v-1)/(1-v^3)

接下来，进行变量分离，得到：

(1-v^3)dv = (1-v)dx

对两边同时积分，得到：

∫(1-v^3)dv = ∫(1-v)dx

化简后得到：

v + (1/2)v^2 + (1/3)v^3 = x - (1/2)x^2 + C

将v=y/x代入，得到：

y/x + (1/2)(y/x)^2 + (1/3)(y/x)^3 = x - (1/2)x^2 + C

化简后得到：

y = x(tan(x+C)-x)

因此，原微分方程的通解为：

y = x(tan(x+C)-x)

相关问题

求柱面(x-3)^2+(y-4)^2=4^2与平面-2x+y+3z-4=0所得交线椭圆的长半轴和短半轴

首先，将柱面方程和平面方程联立，解得该交线的参数方程为：

x = 3 + 2cos(t)
y = 4 + 2sin(t)
z = (2/3)cos(t) + (1/3)sin(t)

其中，t 为参数。

接下来，我们需要求解该交线椭圆的长半轴和短半轴。由于该椭圆是柱面和平面的交线，因此可以通过求解柱面和平面的法向量来得到椭圆的长轴和短轴方向。

柱面的法向量为 (x-3, y-4, 0)，平面的法向量为 (-2, 1, 3)。由于交线椭圆中心点位于柱面和平面的交点，因此可以通过求解柱面和平面的交点来确定椭圆的中心点。

将平面方程代入柱面方程，得到：

(x-3)^2 + (y-4)^2 = 16
-2x + y + 3z - 4 = 0

解得柱面和平面的交点为 (5/2, 1/2, 1/3)。

在此基础上，可以得到椭圆的中心点为 (5/2, 1/2, 1/3)。接下来，需要求解椭圆在中心点处沿着法向量和切向量方向的长度，即椭圆的短半轴和长半轴。

沿着法向量方向，椭圆的短半轴长度为该交线在中心点处的法向量与平面法向量的夹角余弦值与沿着柱面法向量方向的长度的乘积。由于该交线在中心点处的法向量为 (0, 0, 1)，平面法向量为 (-2, 1, 3)，因此该夹角的余弦值为 |-3/sqrt(14)|，沿着柱面法向量方向的长度为 4。因此，椭圆的短半轴长度为 12/sqrt(14)。

沿着切向量方向，椭圆的长半轴长度为该交线在中心点处的切向量的长度。将参数方程对 t 求一阶导数得到：

dx/dt = -2sin(t)
dy/dt = 2cos(t)
dz/dt = (-2/3)sin(t) + (1/3)cos(t)

因此，该交线在中心点处的切向量为 (-2, 2, 2/3)。椭圆的长半轴长度为该向量的长度，即 2sqrt(7)/3。

综上所述，该交线椭圆的长半轴长度为 2sqrt(7)/3，短半轴长度为 12/sqrt(14)。

R语言求解y'+3y-e^x=x，且y

在R语言中，使用`deSolve`包求解带有初值条件的一阶非线性常微分方程（如给定的 `y' + 3y - e^x = x`），你可以按照以下步骤操作：

1. **定义方程函数**：
首先，你需要创建一个名为 `dydx` 的匿名函数，它接受四个参数：时间 `t`、当前状态 `y`、参数列表 `params` 和额外变量 `extra`（在这种简单情况中，通常不需要`extra`）：

   dydx <- function(t, y, params, extra) {
     with(as.list(c(params, y)), {
       dy <- y[2] - exp(x) - x
       return(dy)
     })
   }

2. **设置初始条件**：
假设我们开始时 `y=0`，即初始值 `y0 = c(y1 = 0)`。

3. **指定时间序列**：
设定一个时间序列，如 `times = seq(from = 0, to = 10, by = 0.1)`，这个例子中从0到10，每0.1单位时间取一个点。

4. **调用`ode`函数**：
调用 `solution <- ode(y = y0, times = times, func = dydx, parms = list())`，注意这里的`parms`是一个空列表，因为该方程不含任何固定参数。

5. **查看结果**：
可以使用 `plot(solution[,1], solution[,2])` 绘制 `y` 关于时间的变化，`print(solution)` 查看详细结果。

6. **可能存在的问题**：
如果方程复杂或者有特殊边界条件，可能需要对上述函数稍作调整，或者使用特定的技巧如数值积分。