(y)dx+(x-y^3)dy=0求解详细过程
时间: 2023-03-31 11:02:35 浏览: 146
这是一道微分方程的求解问题。首先,将方程变形为:
dy/dx = (y-x)/(x-y^3)
然后,令v=y/x,将方程转化为:
dv/dx = (v-1)/(1-v^3)
接下来,进行变量分离,得到:
(1-v^3)dv = (1-v)dx
对两边同时积分,得到:
∫(1-v^3)dv = ∫(1-v)dx
化简后得到:
v + (1/2)v^2 + (1/3)v^3 = x - (1/2)x^2 + C
将v=y/x代入,得到:
y/x + (1/2)(y/x)^2 + (1/3)(y/x)^3 = x - (1/2)x^2 + C
化简后得到:
y = x(tan(x+C)-x)
因此,原微分方程的通解为:
y = x(tan(x+C)-x)
相关问题
ydx+(x-y的6次方)dy=0的通解
对于这个微分方程,可以使用变量分离的方法求解。具体步骤如下:
1. 将 ydx + (x-y)^6 dy = 0 移项得到 ydx = (y-x)^6 dy。
2. 将方程两边同时除以 (y-x)^6,得到 y/(y-x)^6 dx = dy。
3. 对两边同时积分,得到 ∫y/(y-x)^6 dx = ∫dy + C,其中 C 为常数。
4. 对左边的积分进行变量代换,令 z = y - x,那么 y = z + x,dy = dz。
5. 将 y/(y-x)^6 dx = dy 中的 y 替换为 z + x,得到 (z + x)/(z)^6 dx = dz,即 x/z^6 dx + 1/z^5 dx = dz/z^6。
6. 对两边同时积分,得到 ∫x/z^6 dx + ∫1/z^5 dx = ln|z| + C。
7. 将变量代换 z = y - x 代回,得到 ∫x/(y-x)^6 dx + ∫1/(y-x)^5 dx = ln|y-x| + C。
因此,这个微分方程的通解为 ∫x/(y-x)^6 dx + ∫1/(y-x)^5 dx = ln|y-x| + C,其中 C 为常数。
求解y*dx-x*dy=2y^2*dy
这是一个数学问题,可以使用分离变量法解决。将式子变形得到:dy/dx = (2y^2 - x)/y。然后将 y 移到右侧,将 dx 移到左侧,得到:dy/(2y^2 - x) = dx/y。对两边同时积分,得到:-ln|2y^2 - x| = ln|y| + C,其中 C 为常数。移项得到:ln|y| - ln|2y^2 - x| = -C,即 ln|y/(2y^2 - x)| = -C。两边取指数,得到:y/(2y^2 - x) = e^(-C)。将常数 e^(-C) 合并为一个新的常数 K,得到 y/(2y^2 - x) = K。移项得到:2y^2 - x = y/K,即 x = 2y^2 - y/K。这就是 y 和 x 的关系式。