最长上升子序列 算法

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）是指在一个序列中找到一个子序列，使得这个子序列是单调递增的，并且长度最长。

举个例子，对于序列 [5, 3, 4, 8, 6, 7]，最长上升子序列为 [3, 4, 6, 7]，长度为 4。

最长上升子序列可以使用贪心算法或动态规划算法来解决。

贪心算法

假设我们已经找到了从前往后的一个子序列，并且这个子序列是单调递增的。我们可以使用贪心策略，对于新的元素，如果它大于当前子序列的最后一个元素，就将它加入子序列的末尾；如果它小于当前子序列的最后一个元素，就用它替换当前子序列的最后一个元素。这样我们就可以保证在每一步都选择了最优的方案。

代码实现如下：

def LIS(arr):
    n = len(arr)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[i] > arr[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

动态规划算法

动态规划算法也可以用来解决最长上升子序列问题。我们可以使用一个数组 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长上升子序列的长度。

相关问题

最长上升子序列算法步骤

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence）算法的步骤如下：

1. 创建一个与原始序列长度相同的数组 dp，初始值都为 1。dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长上升子序列的长度。
2. 从第一个元素开始，依次遍历原始序列中的每个元素。
3. 对于当前遍历到的元素 nums[i]，再从第一个元素开始，依次遍历其前面的所有元素 nums[j]（j < i）。
4. 如果 nums[i] 大于 nums[j]，说明可以将 nums[i] 加入到以 nums[j] 结尾的最长上升子序列中，此时更新 dp[i] 的值为 dp[j] + 1。
5. 在遍历过程中，不断更新 dp 数组中的最大值，即最长上升子序列的长度。
6. 遍历结束后，dp 数组中储存的就是每个位置结尾的最长上升子序列的长度。最后返回 dp 数组中的最大值即可。

这个算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 表示原始序列的长度。还有一种时间复杂度为 O(nlogn) 的优化算法，可以使用二分查找来提高效率。

最长上升子序列算法思想

以下是最长上升子序列算法思想的介绍：

最长上升子序列（LIS）是指在一个给定的序列中，找到一个最长的子序列，使得这个子序列中的元素是按照递增顺序排列的。换句话说，找到一个非连续的子序列，其中的元素按照严格递增的顺序排列，并且这个子序列的长度是最长的。

动态规划是解决最长上升子序列问题的一种常见方法。其基本思想是，对于给定的序列，我们可以定义一个与原序列长度相同的数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长上升子序列的长度。然后，我们可以通过遍历序列中的每个元素，依次更新dp数组中的值，最终得到整个序列的最长上升子序列的长度。

另一种O(N^2)的做法是通过双重循环遍历序列，对于每个元素，再遍历它之前的元素，找出比当前元素小的元素，更新以当前元素结尾的最长上升子序列的长度。最终得到整个序列的最长上升子序列的长度。