matlab用三次插值画f(x)=1/(1+x^2) 函数图像

在MATLAB中，你可以使用`spatialdata`工具箱中的`griddata`函数结合三次样条插值法来绘制函数f(x)=1/(1+x^2)的图像。以下是步骤：

1. 首先，你需要创建一个网格，例如在-5到5之间的x轴上取等间距的点。可以使用`linspace`函数，比如：

   x = linspace(-5, 5, 100); % 生成100个等间距的x值

2. 然后计算对应的y值，对于给定的f(x)，代入公式 `y = 1./(1 + x.^2)`：

   y = 1 ./ (1 + x.^2);

3. 接下来，使用`griddata`函数进行三次插值，输入为x和y数据，以及新的网格x值，例如要画图的范围可能会更大一些：

   xi = linspace(min(x), max(x), 400); % 更精细的网格用于绘图
   yi = griddata(x, y, xi, 'cubic'); % 使用三次插值

4. 最后，你可以用`plot`函数来画出插值后的图像，并添加标题和坐标轴标签：

   plot(xi, yi, 'b', 'LineWidth', 2); % 蓝色线条表示插值结果
   title('插值后的 f(x)=1/(1+x^2) 函数');
   xlabel('x');
   ylabel('y = 1/(1+x^2)');

相关问题

用Matlab代码对y=1/（1+x^2）在区间[-5，5]中以0.1为步长，分别进行拉格朗日插值和分段底次插值，并绘制曲线比较图像

在MATLAB中，你可以使用`linspace`函数创建x轴的等间距点，然后计算对应的y值。对于拉格朗日插值和分段幂级数插值（假设这里是三次分段多项式），你需要编写一些特定的函数。以下是简单的步骤：

1. 定义函数 `f(x) = 1 / (1 + x^2)` 和插值函数：

% 定义原函数
function y = original_function(x)
    y = 1 ./ (1 + x .^ 2);
end

% 拉格朗日插值
function y_lagrange = lagrange_interpolation(x_values, y_values, x)
    n = length(x_values);
    lags = zeros(n, 1);
    for i = 1:n
        prod = ones(1, n);
        prod(i) = x - x_values;
        lags(i) = prod ./ prod(:, i);
    end
    y_lagrange = y_values .* lags;
end

% 分段幂级数插值
function y_segment_poly = segment_poly_interpolation(x_values, y_values, x)
    % 三次分段多项式，这里是一个示例，实际实现可能需要更复杂的条件判断
    degree = 3;
    segments = [(1:length(x_values))'-1];
    
    % 判断x属于哪个区间
    idx = find(segments([1:end-1; end]) == floor(x));
    
    % 计算对应的系数
    if ~isempty(idx)
        a0 = y_values(idx);
        a1 = diff(y_values(idx), 1);
        a2 = diff(y_values(idx), 2);
        a3 = diff(y_values(idx), 3);
        
        % 根据x在区间内的位置计算插值多项式
        y_segment_poly = a0 + a1*(x - x_values(idx)) + a2*(x - x_values(idx)).^2 + a3*(x - x_values(idx)).^3;
    else
        % 对于边界处理，这取决于具体的实现需求
        warning('x is out of interpolation range');
        y_segment_poly = NaN;
    end
end

2. 创建x轴数据并计算对应的y值：

x_range = -5:0.1:5;
x_values = x_range;
y_true = original_function(x_values);

% 实际插值
y_lagrange_values = lagrange_interpolation(x_values, y_true, x_range);
y_segment_poly_values = segment_poly_interpolation(x_values, y_true, x_range);

3. 绘制曲线比较图像：

% 绘制原始函数、拉格朗日插值和分段多项式插值
plot(x_range, y_true, 'b', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Original Function');
hold on
plot(x_range, y_lagrange_values, 'r--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'Lagrange Interpolation');
plot(x_range, y_segment_poly_values, 'g:', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'Segment Polynomial Interpolation');

% 添加标题和坐标轴标签
title('Comparison of Lagrange and Segment Polynomial Interpolation');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('show');

% 显示图像
hold off

编制matlab程序，实现函数f(x)=1/(1+x^2)在区间[-5,5]上分别采用10次、15次、20次等距节点差值公式，观察察龙格现象，要求龙格现象图像在在同一窗口的不同部分显示多个绘图。

以下是实现该程序的 Matlab 代码：

% 定义函数
f = @(x) 1./(1+x.^2);

% 定义区间和节点数
a = -5;
b = 5;
n1 = 10;
n2 = 15;
n3 = 20;

% 定义等距节点
x1 = linspace(a, b, n1+1);
x2 = linspace(a, b, n2+1);
x3 = linspace(a, b, n3+1);

% 计算差值多项式
p1 = polyfit(x1, f(x1), n1);
p2 = polyfit(x2, f(x2), n2);
p3 = polyfit(x3, f(x3), n3);

% 计算插值结果
y1 = polyval(p1, x1);
y2 = polyval(p2, x2);
y3 = polyval(p3, x3);

% 计算理论值
x = linspace(a, b, 1000);
y = f(x);

% 计算龙格现象
R1 = abs(y - polyval(p1, x));
R2 = abs(y - polyval(p2, x));
R3 = abs(y - polyval(p3, x));

% 绘制图像
figure;
subplot(3,1,1);
plot(x, R1, 'r');
title('龙格现象图像(n=10)');
xlabel('x');
ylabel('R(x)');

subplot(3,1,2);
plot(x, R2, 'g');
title('龙格现象图像(n=15)');
xlabel('x');
ylabel('R(x)');

subplot(3,1,3);
plot(x, R3, 'b');
title('龙格现象图像(n=20)');
xlabel('x');
ylabel('R(x)');

在这个程序中，我们使用 `subplot` 函数在一个窗口中绘制了三个子图，每个子图分别显示了不同节点数下的龙格现象。运行该程序，即可得到在同一窗口不同部分显示的龙格现象图像。