用python编写函数，求1+（1+2）+（1+2+3）+......+(1+2+3+4+......+n)的和。

### Python 实现特定数列求和

为了实现计算 \(1 + (1+2) + (1+2+3) + \ldots + (1+2+3+\ldots+n)\)，可以通过嵌套循环来完成这一目标。外层循环控制累加次数，内层循环负责每次累加的具体操作。

下面是一个具体的实现方法：

def sum_series(n):
    total_sum = 0
    for i in range(1, n + 1):
        current_sum = 0
        for j in range(1, i + 1):
            current_sum += j
        total_sum += current_sum
    return total_sum

# 测试该函数
n = int(input("请输入正整数n: "))
result = sum_series(n)
print(f"计算的结果为 {result}")

上述代码定义了一个名为 `sum_series` 的函数用于接收参数 `n` 并返回最终的总和[^1]。通过两次遍历实现了对每一项先单独求和再整体相加的过程。对于给定的任意自然数\( n \)，此算法能够有效地得出所期望的结果。

值得注意的是，在实际应用中还可以利用数学公式简化这个问题。由于每一步实际上是在做等差数列求和的操作，即第i步等于\(\frac{i(i+1)}{2}\)，因此可以直接基于这个性质优化原方案如下所示:

def optimized_sum_series(n):
    total_sum = 0
    for i in range(1, n + 1):
        total_sum += i * (i + 1) // 2
    return total_sum

# 使用优化后的版本测试
n = int(input("请输入正整数n: "))
optimized_result = optimized_sum_series(n)
print(f"优化后计算的结果为 {optimized_result}")

这种改进不仅提高了效率而且减少了内存占用，因为不需要额外存储中间变量current_sum即可完成相同的功能。