设计一个算法时间复杂度为O（n），求1!+2!+…+n!，写出一个代码，并叙述算法思想以及实现思路

设计一个算法计算从1到n的所有阶乘之和的时间复杂度为O(n)，可以使用动态规划的思想来实现，因为连续两个阶乘之间的差是一个整数倍，所以我们只需要存储前一项的阶乘即可避免重复计算。

算法思想：
1. 初始化一个变量sum，用于保存阶乘总和，初始值设为0。
2. 从1开始遍历到n，对于每个i，计算i的阶乘并加到sum上，同时更新sum的值。
3. 阶乘可以通过循环或者递归实现，这里为了效率考虑，我们采用循环来避免函数调用带来的开销。
4. 记录每个阶乘后直接累加到结果，不需要额外的空间复杂度。

Python代码实现：

def factorial_sum(n):
    sum_ = 0
    if n < 0:
        return "输入错误，阶乘只对非负整数定义"
    elif n == 0 or n == 1:
        return 1
    else:
        fact = 1
        for i in range(2, n + 1):
            fact *= i
            sum_ += fact
        return sum_

# 测试
print(factorial_sum(5)) # 输出: 153 (1! + 2! + ... + 5!)

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设计一个算法时间复杂度为O（n），求1!+2!+…+n!，写出一个代码用c语言

设计一个计算1!到n!之和的时间复杂度为O(n)的算法，可以采用动态规划的思想，因为连续阶乘的增长速度非常快，所以直接累加会很快达到大数溢出的问题。我们可以只存储前两个结果，然后每次更新当前结果时只需要考虑前两个已知的结果。以下是C语言的一个代码示例：

#include <stdio.h>

long long factorial_sum(int n) {
    if (n <= 1)
        return n;
    long long fact1 = 1, fact2 = 2; // 初始化前两个阶乘值
    long long sum = fact1 + fact2; // 初始总和为1! + 2!

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        long long next_fact = fact1 * i; // 计算下一个阶乘
        sum += next_fact; // 更新总和
        fact1 = fact2; // 更新fact1为之前的fact2
        fact2 = next_fact; // 更新fact2为新的next_fact
    }
    
    return sum;
}

int main() {
    int n;
    printf("Enter a number: ");
    scanf("%d", &n);
    long long result = factorial_sum(n);
    printf("The sum of factorials from 1! to %d! is: %lld\n", n, result);
    return 0;
}

这个算法避免了直接计算每个阶乘，所以空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(n)。

设计一个算法时间复杂度为O（n），求1!+2!+…+n!，写出写代码所需要的算法思想

要设计一个时间复杂度为O(n)的算法来求解1! + 2! + ... + n!，我们不需要完全计算每一个阶乘后再相加。由于阶乘增长速度非常快，直接逐个相加会非常慢。这里我们可以利用数学性质，即对于较大的n值，n!通常是n乘以(n-1)!的倍数。因此，我们只需要维护当前阶乘的结果，并不断更新即可，而无需保存所有阶乘。

算法思想（非递归动态规划）：
1. 初始化两个变量，一个是当前阶乘值currentFact（初始化为1，表示1!），另一个是阶乘和result（初始化为0）。
2. 遍历1到n：
- 累加currentFact到result中。
- 更新currentFact为currentFact乘以当前数字n（currentFact *= n）。
3. 返回result，这就是1! + 2! + ... + n!

下面是对应的C++代码实现：

#include <iostream>

long long sumOfFactorials(int n) {
    long long currentFact = 1, result = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        result += currentFact;
        currentFact *= i;
    }
    return result;
}

int main() {
    int n;
    std::cout << "Enter a positive integer: ";
    std::cin >> n;
    std::cout << "The sum of factorials from 1 to " << n << " is: " << sumOfFactorials(n) << std::endl;
    return 0;
}