设计一个算法时间复杂度为O（n），求1!+2!+…+n!，写出一个代码用c++，并叙述算法思想以及实现思路，简单点

设计这样一个算法，我们需要计算从1到n的所有阶乘之和，其时间复杂度为O(n)。阶乘函数的时间复杂度是O(n)，所以如果直接累加，总的时间复杂度将是n * O(n)。但我们可以通过优化，避免重复计算每个数的阶乘。我们可以利用数学性质，即k! = k * (k - 1)!，将每次计算的阶乘分解为前一个数的阶乘乘以当前数，这样可以大大减少重复。

下面是简单的C++代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

long long factorial(int n) {
    if (n == 0 || n == 1)
        return 1; // 因为0! = 1
    else
        return n * factorial(n - 1); // 递归计算阶乘，避免重复
}

int main() {
    int n;
    cout << "请输入一个正整数n: ";
    cin >> n;

    long long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        sum += factorial(i);
    }

    cout << "1! + 2! + ... + " << n << "! 的和是: " << sum << endl;
    
    return 0;
}

算法思想及实现思路：
- 使用递归实现阶乘计算，通过循环结构遍历1到n，依次计算每个数的阶乘并累加到sum变量上。
- 由于我们只需要计算一次每个数的阶乘，因此虽然总共需要n次阶乘运算，但总的工作量与n成线性关系，所以整体时间复杂度是O(n)。