||x||1+α/2||x||2的共轭函数
时间: 2023-11-06 14:09:21 浏览: 93
根据共轭函数的定义,对于一个凸函数f(x),其共轭函数f*(y)定义为:f*(y)=supx(yTx−f(x))。因此,我们需要先将||x||1+α/2||x||2转化为这个形式,即:||x||1+α/2||x||2=supy(xTy−||x||1−α/2||x||2)。接下来,我们需要求解这个函数的共轭函数f*(y)。根据共轭函数的定义,我们有:
f*(y)=supx(yTx−||x||1−α/2||x||2)
我们可以将这个式子拆分成两个部分:
f*(y)=supx(yTx)−supx(||x||1+α/2||x||2)
对于第一个部分,我们可以得到:
supx(yTx)={
0, if ||y||∞≤1
+∞, otherwise
}
对于第二个部分,我们可以使用Moreau-Yosida正则化来求解。具体来说,我们可以将其转化为:
supx(||x||1+α/2||x||2)=infλ>0{λ||x||1+α/2||x||2+12||x−y||2}
因此,我们可以得到:
f*(y)={
0, if ||y||∞≤1
infλ>0{λ||x||1+α/2||x||2+12||x−y||2}, otherwise
}
注意,这个共轭函数是一个分段函数,当||y||∞≤1时,其值为0,否则其值为一个关于y的二次函数。
相关问题
A→ 1| 2|…| n
A→α1|α2|…|αn 是一种产生式的形式,其中A是左部,α1, α2, …, αn是右部的候选式。这种形式的产生式表示A可以生成α1, α2, …, αn中的任意一个候选式。
举个例子,假设我们有以下产生式:
S→AB
A→aAb|ab
B→cB|ε
其中,S是起始符号,A和B是非终结符号,a, b, c是终结符号。根据产生式的形式A→α1|α2|…|αn,我们可以将A的候选式写成:
A→aAb
A→ab
这意味着A可以生成aAb或者ab。同样地,B的候选式可以写成:
B→cB
B→ε
这意味着B可以生成cB或者ε。通过这些产生式,我们可以构造出符合文法规则的字符串。
证明:1+ tanα/1-tanα=tan(π/4+α)
要证明等式1 + tanα / (1 - tanα) = tan(π/4 + α),我们可以使用三角函数的定义和恒等式来进行推导。
首先,我们来展开等式的左边:
1 + tanα / (1 - tanα)
根据三角函数的定义,tanα = sinα / cosα,我们可以将等式改写为:
1 + (sinα / cosα) / (1 - (sinα / cosα))
然后,我们可以将分数进行通分,得到:
(1 * cosα + sinα) / (cosα - sinα) / cosα
继续简化,我们可以将分子进行因式分解:
(cosα + sinα) / (cosα - sinα) / cosα
接下来,我们将分子和分母都乘以(cosα + sinα),得到:
[(cosα + sinα) * (cosα + sinα)] / [(cosα - sinα) * (cosα + sinα)] / cosα
然后,我们可以利用公式(a + b)(a - b) = a² - b²,将分子和分母进行化简:
[(cosα)² + 2cosαsinα + (sinα)²] / [(cosα)² - (sinα)²] / cosα
由于(sinα)² + (cosα)² = 1,可以将上述等式进一步简化为:
[1 + 2cosαsinα] / [cos²α - sin²α] / cosα
再次利用恒等式cos²θ - sin²θ = cos(2θ),我们可以将分母进行化简:
[1 + 2cosαsinα] / cos(2α) / cosα
接下来,我们可以将等式进行进一步简化:
[1 + 2sinαcosα] / (cosα * cos(2α))
继续使用恒等式sinθ = sin(π/2 - θ),我们将等式改写为:
[1 + 2sinαcosα] / (cosα * cos(π/2 - 2α))
然后,我们利用恒等式cosθ = sin(π/2 - θ),将等式变为:
[1 + 2sinαcosα] / (cosα * sin(2α))
再次使用恒等式sin2θ = 2sinθcosθ,将等式进行进一步改写:
[1 + 2sinαcosα] / (cosα *