α是一个原始元素，它是x4 + x + 1的根。α的值为多少

首先，我们将x4 + x + 1写成模2下的多项式，即x4 + x + 1 ≡ x4 + x + 1 (mod 2)。然后，我们可以使用GF(2)有限域上的运算来计算α的值。

我们将α表示为α = a3x3 + a2x2 + a1x + a0，其中a3、a2、a1、a0均为GF(2)有限域上的元素。将α代入x4 + x + 1 ≡ 0，得到：

(a3x3 + a2x2 + a1x + a0)4 + (a3x3 + a2x2 + a1x + a0) + 1 ≡ 0 (mod 2)

化简得：

a32x12 + a22x8 + a12x4 + a02 + a3x + a1 ≡ 0 (mod 2)

因为α是x4 + x + 1的根，所以：

α4 + α + 1 ≡ 0 (mod 2)

化简得：

α4 ≡ α + 1 (mod 2)

将α4表示为：

α4 = (a3x3 + a2x2 + a1x + a0)4 = a33x12 + a23x8 + a13x4 + a03

将α表示为：

α = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

将α4中的α替换为α + 1，得到：

α4 = (a3x3 + a2x2 + a1x + a0 + 1)3x12 + (a3x3 + a2x2 + a1x + a0 + 1)2x8 + (a3x3 + a2x2 + a1x + a0 + 1)x4 + a03

展开并化简得：

a33x12 + a23x8 + a13x4 + a03 + a33x12 + a23x8 + a03 + a3x4 + a2x3 + a2x2 + a1x + a0 ≡ 0 (mod 2)

可以看出，上式中仅有a3x4和a0项的系数不同，因此：

a3x4 + a0 ≡ 0 (mod 2)

即：

a3 = a0

将α表示为：

α = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = a0x3 + a2x2 + a1x + a0

因为α是原始元素，所以α的阶为15，即α15 = 1。因此，我们可以通过不断平方和乘法来计算α的幂，直到得到α15 = 1。

计算α2：

α2 = (a0x3 + a2x2 + a1x + a0)2 = a0x6 + a2x4 + a1x3 + a0x2 ≡ a2x4 + a1x3 + a0x2 + a0 (mod 2)

计算α4：

α4 = (α2)2 ≡ (a2x4 + a1x3 + a0x2 + a0)2 = a2x8 + a1x6 + a0x4 + a0x2 ≡ a2x8 + a0x4 + a0x2 + a1 (mod 2)

计算α8：

α8 = (α4)2 ≡ (a2x8 + a0x4 + a0x2 + a1)2 = a2x16 + a0x8 + a0x4 + a2x8 + a0x2 + a2x4 + a1x2 + a2 ≡ a2x16 + a2x8 + a2x4 + a1x2 + a2 + a0 (mod 2)

计算α15：

α15 = α8 × α4 × α2 × α ≡ (a2x16 + a2x8 + a2x4 + a1x2 + a2 + a0) × (a2x8 + a0x4 + a0x2 + a1) × (a2x4 + a1x3 + a0x2 + a0) × (a0x3 + a2x2 + a1x + a0) ≡ a3x15 + a2x14 + a1x13 + a0x12 + a3x11 + a2x10 + a1x9 + a3x7 + a0x6 + a2x5 + a1x4 + a3x3 + a2x2 + a0x + a1 ≡ 1 (mod 2)

因此，α的值为α = a0x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0011，即α的十进制值为3。