使用MATLAB实现Gauss-Seidel迭代

在MATLAB中，Gauss-Seidel迭代是一种用于求解线性系统Ax = b的数值方法，尤其适用于大型稀疏矩阵。这是一种迭代方法，通过逐步更新每个未知数的估计值，直到达到收敛。以下是使用MATLAB实现Gauss-Seidel迭代的基本步骤：

1. 定义矩阵A、向量b以及初始猜测的解x0。

A = sparse; % 或者输入你的稀疏矩阵
b = randn(size(A, 1), 1); % 随机生成右端向量
x0 = zeros(size(A, 2), 1); % 初始解为零向量

2. 创建函数handle，该函数包含了迭代的核心逻辑，通常包含以下部分：
- 检查矩阵是否对角占优（如果非对角元素绝对值小于主对角线上对应的元素，则称矩阵是对角占优的）
- 更新当前解

function x_new = gauss_seidel(A, b, x, tolerance)
    n = size(A, 2);
    flag = true; % 对角占优标志，默认认为是的
    if ~issparse(A) || abs(diag(A)) <= sum(abs(A(~diag)), 'all')
        warning('Matrix is not diagonally dominant, convergence may be slow or fail.');
        flag = false;
    end
    
    delta = A*x - b; % 差分向量
    x_new = x + diag(diag(A)).^-1 * delta; % Gauss-Seidel更新
end

3. 设置迭代次数、容差等参数，并开始迭代：

max_iter = 1000; % 最大迭代次数
tolerance = 1e-6; % 可接受的解的变化程度
converged = false;
for iter = 1:max_iter
    x_new = gauss_seidel(A, b, x, tolerance);
    
    if norm(x_new - x) < tolerance
        converged = true;
        break; % 达到收敛条件
    end
    x = x_new; % 更新当前解
end

if converged
    fprintf('Converged after %d iterations.\n', iter);
else
    fprintf('Did not converge within %d iterations.\n', max_iter);
end