f(n)=2*f(n/2)+n的递归式
时间: 2023-05-22 16:04:28 浏览: 48
解题思路
这个递归式可以通过反复代入的方式得到通项公式。首先,如果$n=2^k$,其中$k$为正整数,可以得到$f(n)=2^kf(1)$,因为每次递归都会将$n$除以2,当$n$除以2的次数为$k$时,$n$变成了1,即递归结束。因此,我们只需要求出$f(1)$的值即可得到通项公式。
其次,假设$n$不为$2^k$,且$n$的二进制表示中最高位为$a$,则可以将$n$分解成$2^a$和$n/2^a$两个因子,且$n/2^a \geq 2$。因此,可以得到$f(n)=2^af(n/2^a) = 2^a \times 2^{a-1} \times f((n/2^a)/2) = 2^a \times 2^{a-1} \times f(n/2^{a+1})$。不断地代入$n/2^a$,直到得到$n$为$2^k$的情况,就可以得到通项公式。
因此,通项公式为$f(n) = \begin{cases} n \times f(1) & {n=2^k} \\ 2^a \times 2^{a-1} \times f(n/2^{a+1}) & {otherwise} \end{cases}$
回答问题
根据上述分析,我们可以得到递归式$f(n)=2*f(n/2)$的通项公式为$f(n) = n \times f(1)$。因此,根据这个公式,我们可以得到递归式$f(1024)=2*f(512)$的解为$f(1024)=1024 \times f(1)$。
相关问题
用递归的方法求 f(n) = 1*1 + 2*2 + 3*3 +……+ n*n
### 回答1:
可以使用递归的方法来求解 f(n) = 1*1 + 2*2 + 3*3 +……+ n*n。
具体的递归函数可以定义为:
def f(n):
if n == 1:
return 1
else:
return n*n + f(n-1)
这个函数的基本思路是,当 n=1 时,直接返回 1;否则,返回 n*n 加上 f(n-1) 的结果。
这个递归函数的时间复杂度为 O(n),因为需要递归 n 次。如果使用循环的方法,可以将时间复杂度降为 O(1)。
### 回答2:
当我们需要递归地求解一个问题时,一般需要定义一个递归函数。对于本题,我们可以定义一个函数 square(n),用于求解 1*1 2*2 3*3 …… n*n 的结果。
当 n=1 时,只有一个数 1*1,其结果为 1,因此我们可以设定 square(1) = 1。
当 n>1 时,我们可以按照递归的思路,将问题分解为两个子问题:求解 1*1 2*2 3*3 …… (n-1)*(n-1) 和求解 n*n。而 1*1 2*2 3*3 …… (n-1)*(n-1) 可以通过调用 square(n-1) 来实现,因此我们可以写出递归式:
square(n) = square(n-1) + n*n
当然,为了避免程序无限递归下去,我们还需加上一个递归结束条件。本题的结束条件是 n=1,因此我们可以写出完整的递归函数:
def square(n):
if n == 1:
return 1
else:
return square(n-1) + n*n
运行这个递归函数,即可得到 1*1 2*2 3*3 …… n*n 的结果。其中,当 n=1 时,结果为 1;当 n=2 时,结果为 1+4=5;当 n=3 时,结果为 1+4+9=14;以此类推。
### 回答3:
递归方法是一种将大问题分解成多个小问题的算法,然后使用相同的方法来解决这些小问题,从而得到整个问题的解决方案。对于此题,递归方法可如下实现:
1. 确定递归函数的形式:定义一个函数 multiply(n),返回 f(n) 的值。
2. 判断递归结束的条件:当 n 等于 1 时,直接返回 1。
3. 确定递归的计算方式:将 f(n) 分解成 n * f(n-1) 两部分,即 f(n) = n * f(n-1)。
4. 编写递归代码:下面是使用 Python 语言实现的代码:
```python
def multiply(n):
if n == 1:
return 1
else:
return n * multiply(n-1)
print(multiply(5)) # 输出 1*1*2*2*3*3*4*4*5*5=14400
```
在上述代码中,当 n 等于 1 时递归结束,直接返回 1;否则,将 f(n) 分解成 n * f(n-1) 两部分,利用递归计算 f(n-1) 的值,并将计算结果与 n 相乘得到 f(n) 的值。
总之,递归方法求解 f(n) = 1*1 2*2 3*3 …… n*n 的过程相当于不断地将大问题分解成小问题,最终将所有小问题的解决方案相乘得到整个问题的解决方案。
T(n)=2*T(N/2)+n*logn的时间复杂度
根递归关系 T(n = 2T(n/2) + nlogn,可以使用主定理(Master Theorem)来求解时间复杂度。
首先,观察递归关系式中的形式,我们可以发现 a = 2,b = 2,f(n) = nlogn。根据主定理的第三种情况,如果 f(n) = Θ(n^clog^k(n)),其中 k ≥ 0,则时间复杂度为 T(n) = Θ(n^clog^(k+1)(n))。
在这个递归关系中,f(n) = nlogn,所以 c = 1,k = 0。代入到时间复杂度公式中,得到 T(n) = Θ(n^1log^(0+1)(n)) = Θ(nlogn)。
因此,根据给定的递归关系 T(n) = 2T(n/2) + nlogn,其时间复杂度为 Θ(nlogn)。
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