diff(rho, t) + diff(`ρv`[r], r) + 2*`ρv`[r]/r = 0怎么推导
时间: 2024-04-21 14:29:48 浏览: 16
这个方程式是从流体力学中的Navier-Stokes方程式中的质量守恒方程式推导出来的。Navier-Stokes方程式描述了流体的运动,包括质量、动量和能量守恒。质量守恒方程式是其中的一部分,它描述了流体中质量的守恒。
首先,我们来看质量的连续性方程式。它可以表示为:
$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$$
其中,$\rho$表示密度,$\mathbf{v}$表示速度,$\nabla \cdot$表示散度运算符。这个方程式表示,在流体中,质量的变化率等于质量流量的发散率。
接下来,我们将这个方程式用极坐标系来表示,即$r$表示距离,$\theta$表示角度。在极坐标系中,散度运算符可以表示为:
$$\nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{r} \frac{\partial (r v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}$$
将这个式子代入质量的连续性方程式中,可以得到:
$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{r} \frac{\partial (r \rho v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial (\rho v_{\theta})}{\partial \theta} = 0$$
这就是diff(rho, t) + diff(`ρv`[r], r) + 2*`ρv`[r]/r = 0的推导过程。其中,$v_r$表示速度在$r$方向上的分量,$v_{\theta}$表示速度在$\theta$方向上的分量。最后,我们将该方程式简化为一维情况,即速度只沿$r$轴方向变化,所以$v_{\theta}=0$,并且假设流体是不可压缩的,即密度恒定,所以$\rho$可以移到偏导数之外,最终得到diff(rho, t) + diff(`ρv`[r], r) + 2*`ρv`[r]/r = 0。