最大子矩阵的动态规划转移方程

最大子矩阵问题是求一个矩阵中所有子矩阵中元素和最大的子矩阵。可以使用动态规划来解决该问题，其状态转移方程如下：

设矩阵为 $a_{1..n,1..m}$，令 $f_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵的和，则有：

$f_{i,j}=\begin{cases} a_{i,j} &\text{if } i=1,j=1\\ \max(f_{i-1,j},0)+\max(f_{i,j-1},0)-\max(f_{i-1,j-1},0)+a_{i,j} &\text{if } i>1,j>1\\ \max(f_{i-1,j},0)+a_{i,j} &\text{if } i>1,j=1\\ \max(f_{i,j-1},0)+a_{i,j} &\text{if } i=1,j>1 \end{cases}$

其中 $\max(x,0)$ 表示取 $x$ 和 $0$ 中的较大值。最终的答案即为所有 $f_{i,j}$ 中的最大值。

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最大子矩阵的动态转移方程

最大子矩阵问题可以使用动态规划解决，其动态转移方程如下：

设 $dp[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵的和，则有：

$$
dp[i][j]=\begin{cases}
0, &\text{if } A[i][j]=0\\
dp[i][j-1]+A[i][j], &\text{otherwise}
\end{cases}
$$

其中 $A$ 为原始矩阵。

然后，我们可以使用类似于最大子序列和的思路，对 $dp$ 数组进行处理，找到其中的最大值即为最大子矩阵的和。具体而言，我们可以对每一行运用最大连续子序列和算法，得到以该行为底的最大子矩阵的和，再取所有行中最大的一个即可。

最大子矩阵和动态规划

最大子矩阵和问题是指在一个给定的矩阵中，找到一个子矩阵，使得该子矩阵中所有元素的和最大。这个问题可以使用动态规划来解决。具体来说，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示以第i行为底部、第j列为右侧的矩阵中，元素之和的最大值。那么，我们可以得到状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + matrix[i][j]，其中matrix[i][j]表示矩阵中第i行第j列的元素值。这个方程的意思是，以第i行为底部、第j列为右侧的矩阵中，元素之和的最大值等于以第i-1行为底部、第j列为右侧的矩阵中，元素之和的最大值加上第i行第j列的元素值。最后，我们只需要遍历dp数组，找到其中的最大值，就可以得到最大子矩阵的元素之和。