最大子矩阵和问题的状态转移方程
时间: 2023-10-30 21:32:19 浏览: 48
最大子矩阵和问题可以使用动态规划来求解。我们可以定义一个动态规划状态 $dp(i,j)$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵中的最大子矩阵和。则最终答案为所有 $dp(i,j)$ 中的最大值。
接下来考虑如何进行状态转移。我们可以将矩阵按行来考虑,对每一行进行处理。对于第 $i$ 行,我们可以计算出以该行为底边的所有矩阵中的最大子矩阵和。具体来说,我们可以用一个数组 $sum$ 记录当前行及以上所有行中每列的前缀和,即 $sum_{k,j}=\sum\limits_{l=1}^{k}a_{l,j}$。然后对于第 $i$ 行,我们可以枚举该行的每一个左端点 $k$,然后计算以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵中的最大子矩阵和。具体来说,我们可以先将第 $i$ 行的第 $k$ 列到第 $j$ 列的和计算出来,即 $s=\sum_{l=k}^{j}sum_{i,l}$,然后假设以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵的上边界为 $p$,则该矩阵的面积为 $(j-k+1)\times (i-p+1)$,矩阵中元素的和为 $s\times (i-p+1)$。因此,以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵中的最大子矩阵和为 $s\times (i-p+1)$,其中 $p$ 满足 $\sum_{l=k}^{j}\sum_{m=p}^{i}a_{m,l}\leq s$,即 $p$ 是最大的满足条件的上边界。我们可以用前缀和来快速计算 $\sum_{l=k}^{j}\sum_{m=p}^{i}a_{m,l}$,因此时间复杂度为 $O(n^3)$。
综上所述,状态转移方程为:
$$
dp(i,j)=\max_{k=1}^{j}\{dp(i-1,k)+(j-k+1)\times s(i,k,j)\}
$$
其中 $s(i,k,j)$ 表示第 $i$ 行的第 $k$ 列到第 $j$ 列的和,即 $s(i,k,j)=\sum\limits_{l=k}^{j}\sum\limits_{m=1}^{i}a_{m,l}$。初始状态为 $dp(1,j)=s(1,1,j)$。最终答案为 $\max\limits_{i,j}\{dp(i,j)\}$。
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