cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] - E[X]E[Y] + E[X]E[Y]，化简得到cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]。化简过程

如下：

cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] (根据协方差定义)
= E[XY - XE[Y] - YE[X] + E[X]E[Y]]
= E[XY] - E[X]E[Y] - E[Y]E[X] + E[X]E[Y]
= E[XY] - E[X]E[Y]

相关问题

题目:ρxy=-0.5 E(x)=20,D(x)=16 0E=2x+3Y E(Y)=15, D(Y)=9,求P(55<x<120)下界

根据题目可以得到以下信息：

ρxy=-0.5，即 x 和 y 的相关系数为 -0.5。

E(x)=20，D(x)=16，即 x 的期望为 20，方差为 16。

E(Y)=15，D(Y)=9，即 y 的期望为 15，方差为 9。

要求 P(55<x<120) 的下界。

由于 x 和 y 的相关系数为 -0.5，且两者均服从正态分布，因此可以使用二元正态分布来求解。

首先，计算 x 和 y 的协方差：

Cov(x,y) = ρxy * σx * σy = -0.5 * √16 * √9 = -2.25

然后，计算 x 和 y 的联合期望和方差：

E(x+y) = E(x) + E(y) = 20 + 15 = 35

D(x+y) = D(x) + D(y) + 2Cov(x,y) = 16 + 9 - 2 * 2.25 = 20.5

接下来，标准化变量：

Zx = (x - E(x)) / σx = (x - 20) / 4

Zy = (y - E(y)) / σy = (y - 15) / 3

根据题目要求，求 P(55<x<120) 的下界，即 P(Zx > (55 - 20) / 4)。

根据二元正态分布的公式，有：

P(Zx > (55 - 20) / 4) = 1 - Φ(0.9375 - 0.5 * (120 - 35) / √20.5)

其中，Φ 表示标准正态分布的累积分布函数。

计算得到：

P(Zx > (55 - 20) / 4) ≈ 0.0252

因此，P(55<x<120) 的下界为约 0.0252。

ρxy=-0.5 E(x)=20,D(x)=16 ，Z=2x+3Y, E(Y)=15, D(Y)=9,求P(55<x<120)下界

这是一个数理统计的问题，属于IT类问题。

根据题意，我们可以得到：

E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 × 20 + 3 × 15 = 85

D(Z) = D(2X + 3Y) = 4D(X) + 9D(Y) + 12Cov(X, Y)

其中，Cov(X, Y)是X和Y的协方差。由于ρxy = -0.5，我们可以得到：

Cov(X, Y) = ρxy × σx × σy = -0.5 × √16 × √9 = -2.25

因此，

D(Z) = 4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5 = 138.5

接下来，我们需要将Z标准化为标准正态分布：

Z' = (Z - E(Z)) / √D(Z) = (Z - 85) / √138.5

P(55 < X < 120)等价于P(2X < 240)。将2X带入Z的公式中，得到：

Z' = (2X - 2E(X) + 3Y - 3E(Y)) / √(4D(X) + 9D(Y) + 12Cov(X, Y))

将X = 55和X = 120代入上式，分别得到：

Z'1 = (110 - 2 × 20 + 3Y - 3 × 15) / √(4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5) ≈ 0.61 + 0.35Y

Z'2 = (240 - 2 × 20 + 3Y - 3 × 15) / √(4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5) ≈ 1.91 + 0.35Y

因为Z'是标准正态分布，所以P(55 < X < 120)等价于P(Z'1 < Z' < Z'2)。将Z'1和Z'2带入标准正态分布的累积分布函数中，得到：

P(Z'1 < Z' < Z'2) ≈ Φ(Z'2) - Φ(Z'1) ≈ Φ(1.91 + 0.35Y) - Φ(0.61 + 0.35Y)

其中，Φ是标准正态分布的累积分布函数。因为我们不知道Y的具体取值，所以需要对Y进行积分：

P(55 < X < 120) ≈ ∫Φ(1.91 + 0.35Y) - Φ(0.61 + 0.35Y) f(y)dy

其中，f(y)是Y的概率密度函数。由于Y是正态分布，所以：

f(y) = 1 / (√2πD(Y)) × exp[-(y-E(Y))^2 / (2D(Y))]

将f(y)带入上式，得到：

P(55 < X < 120) ≈ ∫[Φ(1.91 + 0.35y) - Φ(0.61 + 0.35y)] × [1 / (√2πD(Y)) × exp[-(y-E(Y))^2 / (2D(Y))]]dy

这是一个积分问题，可以使用数值积分或者计算机软件求解。