使用三点中心差分格式计算 { − u ′′(x) = f(x), u(0) = u(1) = 0,
时间: 2023-12-01 18:02:19 浏览: 51
我们可以使用三点中心差分格式来离散化上述的二阶微分方程。具体来说,我们可以将 $x$ 轴离散化为 $N+1$ 个点,即 $x_i=i\Delta x$,其中 $\Delta x=\frac{1}{N}$。此外,我们将 $u(x)$ 在这些点上的取值用 $u_i$ 表示。
然后,我们可以使用三点中心差分格式来离散化 $u''(x)$ 和 $f(x)$,具体来说:
$$
u''(x_i) \approx \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{(\Delta x)^2}
$$
$$
f(x_i) \approx f_i
$$
代入原方程 $-u''(x)=f(x)$,得到:
$$
-\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{(\Delta x)^2}=f_i
$$
移项后,可以得到:
$$
u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}=-\Delta x^2 f_i
$$
由于 $u(0)=u(1)=0$,因此可以得到 $u_0=u_N=0$。因此,对于 $i=1,2,\ldots,N-1$,我们可以得到以下的 $N-1$ 个方程:
$$
\begin{cases}
-u_1+2u_0-u_{-1}=\Delta x^2 f_0=0\\
-u_2+2u_1-u_0=\Delta x^2 f_1\\
\ \ \ \ \vdots\\
-u_{N-2}+2u_{N-1}-u_N=\Delta x^2 f_{N-1}=0\\
\end{cases}
$$
其中,第一个和最后一个方程来自于边界条件 $u(0)=u(1)=0$。我们可以将这些方程写成矩阵形式:
$$
AU=F
$$
其中,$A$ 是一个 $(N+1)\times (N+1)$ 的矩阵,具体来说,对于 $i=1,2,\ldots,N-1$:
$$
A_{i,i-1}=A_{i,i+1}=-1,\quad A_{i,i}=2
$$
对于 $i=0,N$:
$$
A_{i,i}=1,\quad A_{i,j}=0\ (j\neq i)
$$
$U$ 是一个 $(N+1)\times 1$ 的向量,其中 $U_i=u_i$。
$F$ 是一个 $(N+1)\times 1$ 的向量,其中对于 $i=1,2,\ldots,N-1$:
$$
F_i=-\Delta x^2 f_i
$$
对于 $i=0,N$:
$$
F_i=0
$$
我们可以使用求解线性方程组的方法(如高斯消元法)求解 $U$。
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