已知矩阵的"和"定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵 N " N ，你的任务是找到最大"和"的非空（大小至少是1"1）子矩阵 n * m 。比如，如下4*4的矩阵 A 的最大子矩阵是92-41-18这个子矩阵的大小是15。

你的问题是如何找到最大和的非空子矩阵。这个问题可以使用动态规划算法来解决。具体来说，我们可以定义一个新的矩阵 dp，其中 dp(i, j) 表示以矩阵中第 i 行和第 j 列为右下角的最大子矩阵的和。这个最大子矩阵可以向上延伸 k 行和向左延伸 l 列，其中 k 和 l 可以是任意值，因此 dp(i, j) 可以由 dp(i-1, j)，dp(i, j-1) 和 dp(i-1, j-1) 推导出来。具体来说，我们可以使用以下递推式：dp(i, j) = max(dp(i-1, j), dp(i, j-1), dp(i-1, j-1), 0) + A(i, j)，其中 A(i, j) 表示矩阵中第 i 行第 j 列的元素值，0 表示我们不选择任何子矩阵。最终，我们只需要遍历 dp 矩阵，找到最大的 dp(i, j) 值即可，这个值对应的子矩阵就是最大和的非空子矩阵。

相关问题

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空（大小至少是1×1）子矩阵。，给详细并分步给出用动态规划求解的思路

动态规划是一种求解最优化问题的常用算法，它分为两个步骤：定义状态和状态转移方程。对于这道题目，我们可以定义状态 $dp[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵的大小，然后我们需要找到所有 $dp[i][j]$ 中的最大值，即为所求的答案。

接下来，我们需要推导状态转移方程。以一个例子来说明：

假设当前矩阵为：

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

我们可以通过观察矩阵，发现对于任意一个元素 $(i,j)$，以它为右下角的最大子矩阵的大小，可以通过以下三种情况来计算：

1. 当前元素为0，那么以它为右下角的最大子矩阵的大小为0。
2. 当前元素为1，它的上方、左方和左上角的元素都为1，那么以它为右下角的最大子矩阵的大小，可以通过以下公式计算：

$$dp[i][j] = \min\{dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]\} + 1$$

3. 当前元素为1，但它的上方、左方和左上角的元素不全为1，那么以它为右下角的最大子矩阵的大小，只能为1。

综上所述，状态转移方程为：

$$
dp[i][j] =
\begin{cases}
0, & \text{if } matrix[i][j] = 0 \\
\min\{dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]\} + 1, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

最后，我们只需要遍历整个矩阵，计算 $dp[i][j]$ 的值，并记录最大的值即可。时间复杂度为 $O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别表示矩阵的行数和列数。

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1*1)子矩阵。比如，如下4*4的矩阵 0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2 的最大子矩阵是 9 2 -4 1 -1 8 这个子矩阵的大小是15。 输入描述： 输入是一个N*N的矩阵。输入的第一行给出N (0<N<=100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。注意，样例输入中，的确有一个空行。 输出描述： 输出最大子矩阵的大小。 样例输入： 样例输出： 4 0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1

这是一个经典的最大子矩阵问题，可以通过动态规划来解决。我们可以先把每一行的元素加起来，形成一个一维数组，然后对这个一维数组进行最大连续子序列和的计算，这个最大连续子序列和就是以这一行为底的最大子矩阵的大小。最后，我们可以在所有以每一行为底的最大子矩阵中找到最大的那个，就是整个矩阵的最大子矩阵。具体实现可以参考下面的代码：

import sys

n = int(input().strip())
matrix = []
for i in range(n):
    row = list(map(int, input().strip().split()))
    matrix.append(row)

# 计算以一维数组为底的最大子矩阵大小
def max_subarray(nums):
    max_sum = -sys.maxsize
    cur_sum = 0
    for num in nums:
        cur_sum += num
        max_sum = max(max_sum, cur_sum)
        cur_sum = max(cur_sum, 0)
    return max_sum

# 计算以每一行为底的最大子矩阵大小
def max_submatrix(matrix):
    n = len(matrix)
    max_size = -sys.maxsize
    for i in range(n):
        nums = [0] * n
        for j in range(i, n):
            for k in range(n):
                nums[k] += matrix[j][k]
            cur_size = max_subarray(nums)
            max_size = max(max_size, cur_size)
    return max_size

print(max_submatrix(matrix))

这个算法的时间复杂度是 $O(n^3)$，在 $n$ 不是太大的时候可以通过本题。