$ R^i = \frac{1}{K} \sum{j=1}^{K} r^ij $$

这个公式表示的是计算某个物品i的平均评分，其中r^ij表示用户j对物品i的评分，K表示评分的用户数。

具体来说，对于一个物品i，我们有多个用户对它评分，假设一共有K个用户对它评分（即物品i的评分人数为K），那么我们可以把这K个用户对物品i的评分加起来，得到总评分Ri，然后再除以K，得到平均评分。

以下是一个Python例子，假设我们有一个评分矩阵ratings，其中第i行第j列的元素ratings[i][j]表示用户j对物品i的评分，则可以使用以下代码计算每个物品的平均评分：

num_items, num_users = ratings.shape # 获取物品数和用户数
R = np.zeros(num_items) # 初始化每个物品的平均评分
for i in range(num_items):
    sum_ratings = 0 # 总评分
    num_ratings = 0 # 评分人数
    for j in range(num_users):
        if ratings[i][j] > 0: # 如果用户j对物品i有评分
            sum_ratings += ratings[i][j]
            num_ratings += 1
    if num_ratings > 0:
        R[i] = sum_ratings / num_ratings # 计算平均评分

相关问题

假设 $\A\in \mathbb{R}^{n×n}$, 且 $\alpha=\x^\top\A\x$, 试求 $\frac{\partial \alpha}{\partial \x}$

根据给定的条件，我们有 $\alpha = \x^\top\A\x$，其中 $\A\in \mathbb{R}^{n×n}$ 是一个实数矩阵，$\x$ 是一个 $n$ 维列向量。

我们可以对 $\alpha$ 求偏导数，即求 $\frac{\partial \alpha}{\partial \x}$。

首先，将 $\alpha$ 展开：

$$
\alpha = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_i x_j
$$

接下来，我们对 $\alpha$ 分别对 $x_k$ 求偏导数，其中 $k=1,2,...,n$。注意到在求导过程中，我们只需要关注与 $x_k$ 有关的项。

$$
\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \frac{\partial}{\partial x_k}\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_i x_j\right)
$$

由于在求导时，只有与 $x_k$ 有关的项才会对求导结果产生影响，所以我们可以把与 $x_k$ 无关的项移出求导符号：

$$
\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}\frac{\partial}{\partial x_k}(x_i x_j)
$$

接下来，我们对 $x_i x_j$ 求偏导数。注意到 $x_i x_j$ 是两个变量的乘积，所以我们需要使用乘法法则来求导。

当 $i=k$ 且 $j\neq k$ 时，$x_i$ 是常数，$x_j$ 对 $x_k$ 求导结果为 $0$；同理，当 $i\neq k$ 且 $j=k$ 时，$x_i$ 对 $x_k$ 的求导结果也是 $0$。

当 $i=k$ 且 $j=k$ 时，我们有：

$$
\frac{\partial}{\partial x_k}(x_i x_j) = \frac{\partial}{\partial x_k}(x_k^2) = 2x_k
$$

因此，我们可以将上面的求导结果整理为：

$$
\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}(2x_k) = 2\sum_{i=1}^{n} A_{ik}x_k
$$

最终，我们得到 $\frac{\partial \alpha}{\partial x_k}$ 的表达式为：$\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = 2\sum_{i=1}^{n} A_{ik}x_k$。

\min_{d_1,\ldots,d_{10}} \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2

这是一个最小二乘问题，要求解的是10个变量$d_1$到$d_{10}$，使得所有误差的平方和最小。可以使用最小二乘法来求解。

首先将目标函数展开：

$\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2 = \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} (y_{ij} - \sum_{k=1}^{10} x_{ijk}d_k)^2$

其中，$y_{ij}$是第$i$个样本的第$j$个特征的实际值，$x_{ijk}$是第$i$个样本的第$j$个特征在$d_k$上的系数，$d_k$是要求解的第$k$个变量。

将目标函数对$d_k$求偏导数，令其为0，得到：

$\frac{\partial}{\partial d_k} \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} (y_{ij} - \sum_{k=1}^{10} x_{ijk}d_k)(-x_{ijk}) = 0$

整理得到：

$\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} x_{ijk}(y_{ij} - \sum_{k=1}^{10} x_{ijk}d_k) = 0$

这是一个包含10个方程、10个未知数的线性方程组，可以使用矩阵运算求解。令$X$为一个$200\times10$的矩阵，其中第$i$行表示第$i$个样本在$d_1$到$d_{10}$上的系数；$D$为一个$10\times1$的矩阵，其中第$i$个元素表示要求解的第$i$个变量；$Y$为一个$200\times1$的矩阵，其中第$i$个元素表示第$i$个样本的第$j$个特征的实际值。则上式可以表示为：

$X^T(XD-Y)=0$

解出$D$即可。