^i = \frac{1}{K} \sum{j=1}^{K} r^ij $$

时间: 2024-06-17 12:07:52 浏览: 121
CPP

简单的K均值算法实现

star3星 · 编辑精心推荐
这是一个计算向量i和K个向量r^1 ~ K的平均值的公式。其中i和r^1 ~ K都是向量，公式中的j表示第j个向量的索引，K是向量的数量。 具体步骤如下： 1. 对r^1 ~ K进行累加求和，得到一个向量S。 2. 将S除以K，得到平均向量M。 3. 计算向量i和平均向量M的点积，得到一个标量值。 这个公式在机器学习中经常用于计算目标向量i和一组参考向量的相似度。 <<例子>> 假设有3个向量r^1、r^2和r^3，分别为[1,2,3]、[4,5,6]和[7,8,9]，另外一个向量i为[2,3,4]。根据公式我们可以得到以下结果： $$S = r^1 + r^2 + r^3 = [1,2,3] + [4,5,6] + [7,8,9] = [12, 15, 18]$$ $$M = \frac{1}{3} * S = \frac{1}{3} * [12, 15, 18] = [4, 5, 6]$$ $$i * M = [2, 3, 4] * [4, 5, 6] = 2*4 + 3*5 + 4*6 = 44$$
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\( u_{ij} = \frac{1}{\sum_{k=1}^{C}\left(\frac{d(x_i, c_k)}{d(x_i, c_j)}\right)^{\frac{2}{m-1}}} \) 其中，\( u_{ij} \)是数据点i对聚类中心j的隶属度，\( d(x_i, c_k) \)是数据点i与聚类中心k之间的距离，m...
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FCM.zip_Fuzzy C Means_K._fcm_fcm c代码_模糊

\[ c_{jk} = \frac{\sum_{i=1}^{m}u_{ij}^m x_{ik}}{\sum_{i=1}^{m}u_{ij}^m} \] 其中，m为数据点总数，u_{ij}是数据点i对类别j的隶属度，m是模糊指数，通常取2，以保证算法的稳定性和收敛性。 4. 判断停止条件：...

把NMI = \frac{-2 \cdot \sum_{i=1}^C \sum_{j=1}^K \frac{n_{ij}}{n} \log\left(\frac{n_{ij} \cdot n}{n_i \cdot n_j}\right)}{\sum_{i=1}^C \frac{n_i}{n} \log\left(\frac{n_i}{n}\right) + \sum_{j=1}^K \frac{n_j}{n} \log\left(\frac{n_j}{n}\right)}转换成普通数学公式

NMI = \frac{-2 \cdot \sum_{i=1}^C \sum_{j=1}^K \frac{n_{ij}}{n} \log\left(\frac{n_{ij} \cdot n}{n_i \cdot n_j}\right)}{\sum_{i=1}^C \frac{n_i}{n} \log\left(\frac{n_i}{n}\right) + \sum_{j=1}^K \frac{n_...

kmeans算法中,记 $\hat{\mathbf{x}}$ 为 $n$ 个样本的中心点, 定义如下变量: \begin{table}[h] \centering \label{table:equation} \begin{tabular}{ l | c } \hline total deviation & $T(X) = \sum_{i=1}^n \lVert \mathbf x_i - \hat{\mathbf x}\rVert^2/n$ \\ intra-cluster deviation & $W_j(X) = \sum_{i=1}^n \gamma_{ij} \lVert\mathbf x_i - \mu_j \rVert^2/\sum_{i=1}^n \gamma_{ij}$ \\ inter-cluster deviation & $B(X) = \sum_{j=1}^k \frac{ \sum_{i=1}^n \gamma_{ij}}{n} \lVert\mu_j -\hat{\mathbf x} \rVert^2$\\ \hline \end{tabular} \end{table} 试探究以上三个变量之间有什么样的等式关系? 基于此, 请证明, $k$-means 聚类算法可以认为是在最小化 intra-cluster deviation 的加权平均, 同时近似最大化 inter-cluster deviation.

B(X) = \sum_{j=1}^k \frac{\sum_{i=1}^n \gamma_{ij}}{n} \lVert\mu_j -\hat{\mathbf x} \rVert^2 $$ 注意到 $\sum_{i=1}^n \gamma_{ij}$ 表示第 $j$ 个簇中样本的数量，因此 $\frac{\sum_{i=1}^n \gamma_{ij}}{n}...

在matlab 中求解$$\max \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{10}x_{i,j}$$ $$\text{s.t.}\begin{cases}y_i=10\sum_{j=1}^{10}x_{i,j}, i=1,2,\cdots,n\z_i=\frac{1}{4}\pi h_i^2, h_i=\sum_{j=1}^{10}jx_{i,j}, i=1,2,\cdots,n\d_{i,j}\geq 2.5+r_i+r_j, r_i=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{10}jx_{i,j}, r_j=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{10}jx_{j,k},i,j=1,2,\cdots,n\c_i=10h_i+10, i=1,2,\cdots,n\y_i\leq 500, i=1,2,\cdots,n\z_i\leq 2.8x_{i,1}+5.5x_{i,2}+8.5x_{i,3}+11.9x_{i,4}+14.5x_{i,5}, i=1,2,\cdots,n\x_{i,j}\in{0,1}, i=1,2,\cdots,n, j=1,2,\cdots,10\end{cases}$$

% y_i = 10 * sum_j(x_ij) A(i, (i-1)*10+1:i*10) = -10 * ones(1, 10); b(i) = 0; % delta_ij >= 2.5 + r_i + r_j for j = 1:n if j ~= i r_i = 0.5 * (1:10) * x((i-1)*10+1:i*10)'; r_j = 0.5 * (1:10) *...

$$ \begin{aligned} C_m\frac{dV}{dt} &= -g_L(V-E_L) + I_{syn}(t) \ \frac{d}{dt} \sum_{i=1}^{N} w_i S_i(t) &= -\sum_{i=1}^{N} \frac{S_i(t)}{\tau_i} + \sum_{k=1}^{K} \sum_{j=1}^{N_k} \delta(t-t_j^{(k)})w_{ij} \ \end{aligned} $$ 是什么意思

$\tau_i$表示第$i$个突触的时间常数，$t_j^{(k)}$表示第$k$个突触在第$j$个脉冲时刻发放的时间，$K$表示突触的总数，$N_k$表示第$k$个突触连接的神经元数。 第一行式子表示LIF神经元的膜电位的变化率，它是由膜...

由\begin{aligned} C_m\frac{dV}{dt} &= -g_L(V-E_L) + I_{syn}(t) 怎么能推导出\frac{d}{dt} \sum_{i=1}^{N} w_i S_i(t) &= -\sum_{i=1}^{N} \frac{S_i(t)}{\tau_i} + \sum_{k=1}^{K} \sum_{j=1}^{N_k} \delta(t-t_j^{(k)})w_{ij} \

根据突触后膜电位的定义，它是由突触后膜电导（$1/\tau_i$）和突触输入电流（$\sum_{j=1}^{N_k} \delta(t-t_j^{(k)})w_{ij}$）共同决定的。其中，$t_j^{(k)}$ 表示第 $k$ 个突触在时间轴上发放的时间点，$\delta(t-t...

$L=-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{n}y_{ij}\log\hat{y}_{ij}$这是什么

其中，$N$表示样本数，$n$表示类别数，$y_{ij}$表示样本$i$属于第$j$类的真实标签，$\hat{y}_{ij}$表示样本$i$属于第$j$类的预测概率。当模型的预测概率与真实标签不一致时，交叉熵损失函数会给出较大的损失值，反之...

考虑简单的抛硬币问题. 现有两枚硬币$A$和$B$，正面朝上的概率分别为$\theta_A, \theta_B$, 结果朝上 记为H~(head), 朝下记为T~(tail). 独立地进行$N$轮实验, 在第$k$轮实验中, 以均等概率选择一枚硬币$Z_k \in \{A,B\}$并重复抛掷$M$次, 其中硬币朝上的次数$X_k$为可观测变量, 而选择的硬币类型$Z_k$为隐变量不可观测. 我们将使用EM算法, 迭代一次, 对参数$\theta = (\theta_A, \theta_B)$进行估计, 使用的实验数据为HTTTHHTHTH，HHHHTHHHHH，HTHHHHHTHH. 具体而言共3轮实验, 每轮选取的硬币记为$z_i ~ (i=1,2,3)$, 抛掷10次并记录结果, 硬币朝上的次数记为$x_i ~ (i=1,2,3)$. 假设参数的初始值$\theta^0 = (0.6, 0.5)$. 请结合实验数据, 推断出隐变量取值$Z = (z_1, z_2)$的分布, 即推断出第$i$轮实验~($i=1,2,3$)中抛掷硬币$A$、硬币$B$各自的概率,

\theta_A^{t+1} = \frac{\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^{10}P(Z_i=A|X_{ij}, \theta^t)X_{ij}}{\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^{10}P(Z_i=A|X_{ij}, \theta^t)M} $$ 同理，我们可以计算出$\theta_B^{t+1}$。 根据题目给定的数据...

\min_{d_1,\ldots,d_{10}} \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2

$\frac{\partial}{\partial d_k} \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} (y_{ij} - \sum_{k=1}^{10} x_{ijk}d_k)(-x_{ijk}) = 0$ 整理得到： $\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^...

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^TX_i 的期望

E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^TX_i) = E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}X_{ij}^2) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}(Var(X_{ij}) + (E[X_{ij}])^2) = \sum_{j=1}^{d}(Var(X_{ij}) + (E[X_{...

消息解码z = zeros(1, N); for i = 1:N z(i)=A(:,i)'*h(:,i)*y/(sum(h(:,i).^2)+sum(h(:,i+1:N).^2)/gamma(i)); end

z(i) = \frac{\mathbf{a}_i^T \mathbf{h}_i \mathbf{y}}{\sum_{j=1}^{K} h_{ij}^2 + \frac{1}{\gamma_i} \sum_{j=i+1}^{N} \sum_{k=1}^{K} h_{kj}^2} $$ 其中，$\mathbf{a}_i$ 表示 A 的第 i 列，$\mathbf{h}_i...

def fuzzy_kmeans(data, num_clusters, m, max_iter=100, epsilon=1e-4): num_samples = data.shape[0] num_features = data.shape[1] # 初始化隶属度矩阵 membership = np.random.dirichlet(np.ones(num_clusters), size=num_samples) # 迭代更新聚类中心和隶属度 for iter in range(max_iter): # 计算聚类中心 centers = np.zeros((num_clusters, num_features)) for k in range(num_clusters): centers[k] = np.sum((membership[:, k]**m).reshape(-1, 1) * data, axis=0) / np.sum(membership[:, k]**m) # 计算隶属度 new_membership = np.zeros((num_samples, num_clusters)) for i in range(num_samples): for k in range(num_clusters): numerator = np.linalg.norm(data[i] - centers[k]) denominator = np.sum([(np.linalg.norm(data[i] - centers[j]) / numerator)**(2 / (m - 1)) for j in range(num_clusters)]) new_membership[i, k] = 1 / denominator # 判断迭代终止条件 if np.sum(np.abs(new_membership - membership)) < epsilon: break membership = new_membership return centers, membership

4. 计算隶属度，对于每个数据点和每个聚类中心，计算其隶属度，使用公式：$u_{ik} = \frac{1}{\sum_{j=1}^c(\frac{d_{ik}}{d_{ij}})^{\frac{2}{m-1}}}$，其中 $d_{ik}$ 表示数据点 $i$ 与聚类中心 $k$ 的距离，$d_{...

假设 $\A\in \mathbb{R}^{n×n}$, 且 $\alpha=\x^\top\A\x$, 试求 $\frac{\partial \alpha}{\partial \x}$

\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}(2x_k) = 2\sum_{i=1}^{n} A_{ik}x_k $$ 最终，我们得到 $\frac{\partial \alpha}{\partial x_k}$ 的表达式为：$\frac{\partial \...

使用k-means方法对以下数据点进行分类：共有5个样本，每个样本有两个特征x1和x2。样本a:x1=5,x2=-3;样本b:x1=-1,x2=1;样本c:x1=1,x2=-1;样本d:x1=-3,x2=-2;样本e:x1=4,x2=4。请给出每一步详细迭代聚类过程

$centroids_j = (\frac{1}{n_j} \sum_{i=1}^{n_j} x_{ij1}, \frac{1}{n_j} \sum_{i=1}^{n_j} x_{ij2})$ 其中，$n_j$表示第j个类中的数据点数目，$x_{ij1}$和$x_{ij2}$分别表示第j个类中第i个数据点的两个特征。 ...

clear all nsymbol=100000; T=1; fs=100; ts=1/fs; t=0:ts:T-ts; %时间向量 fc=10; %载波频率 c=sqrt(2/T)*cos(2*pi*fc*t); %载波信号 M=4; %8-PAM graycode=[0 1 3 2]; %Gray编码规则 EsN0=0:15; %信噪比，Es/N0 snr1=10.^(EsN0/10); %信噪比转换为线性值 msg=randi(2,1,nsymbol); %消息数据 msg1=graycode(msg+1); %Gray映射 msgmod=pammod(msg1,M).'; %基带4-PAM调制 tx=msgmod*c; %载波调制 tx1=reshape(tx.',1,length(msgmod)*length(c)); spow=norm(tx1).^2/nsymbol; %求每个符号的平均功率 for indx=1:length(EsN0) sigma=sqrt(spow/(2*snr1(indx))); %根据符号功率求噪声功率 ll=length(tx1); rx=tx1+sigma*randn(1,ll); %加入高斯白噪声 rx1=reshape(rx,length(c),length(msgmod)); y=(c*rx1)/length(c); %相关运算 y1=pamdemod(y,M); %PAM解调 decmsg=graycode(y1+1); [err,ber(indx)]=biterr(msg,decmsg,log2(M)); %误比特率 [err,ser(indx)]=symerr(msg,decmsg); %误符号率 end semilogy(EsN0,ber,'-ko',EsN0,ser,'-k*',EsN0,1.5*qfunc(sqrt(0.4*snr1))); title('4-PAM载波调制信号在AWGN信道下的性能') xlabel('Es/N0');ylabel('误比特率和误符号率') legend('误比特率','误符号率','理论误符号率')上述程序怎么改为8PAM，请列出程序和理论误符号率公式

$$P_{s}=\frac{1}{log_2(M)}\sum_{i=0}^{M-1}\sum_{j=0,j\neq i}^{M-1}Q\left(\sqrt{\frac{3}{M^2-1}\frac{d_{ij}^2}{N_0}}\right)$$ 其中，$M$为调制阶数，$d_{ij}$为第 $i$ 个符号与第 $j$ 个符号之间的欧几里得...

考察分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程组：5x1+2x2+x3=-12;-x1+4x2+2x3=20;2x1-3x2+10x3=3的迭代公式并从x(0)=(0,0,0)',计算到||x(k+1)-x(k)||inf<10的-4次方为止，用matlab的编程实现，可运行

\[ x_i^{(k+1)} = \frac{b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k+1)}}{a_{ii}} \quad (i=1,2,...,n) \] 开始时，可以先将 A 看作是对角矩阵，然后逐步更新非对角元素。 现在，为了计算到 ||x(k+1)-x(k)||_∞ ^-4 的...

若某个算法得到分类为：A = [1 1 1 1, 2 2 2 2 2 , 3 3 3 3 3, 4 4 4]，而真实的分类结果为 B = [1 2 4 1, 1 2 3 2 2, 1 2 4 3 3, 4 4 2]，求NMI值；

MI(A,B) = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l} \frac{N_{ij}}{N} \log{\frac{N_{ij}N}{N_iN_j}} $$ 其中，$k$ 表示 A 的分类数，$l$ 表示 B 的分类数，$N_{ij}$ 表示 A 中分类为 $i$，B 中分类为 $j$ 的样本数，$N_i$ ...

$ R^i = \frac{1}{K} \sum{j=1}^{K} r^ij $$

这个公式表示的是计算某个物品i的平均评分，其中r^ij表示用户j对物品i的评分，K表示评分的用户数。 具体来说，对于一个物品i，我们有多个用户对它评分，假设一共有K个用户对它评分（即物品i的评分人数为K），那么...

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【MATLAB时间序列分析】：预测与识别的高效技巧

![MATLAB](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/8652af2d537643edbb7c0dd964458672.png) # 1. 时间序列分析基础概念 在数据分析和预测领域，时间序列分析是一个关键的工具，尤其在经济学、金融学、信号处理、环境科学等多个领域都有广泛的应用。时间序列分析是指一系列按照时间顺序排列的数据点的统计分析方法，用于从过去的数据中发现潜在的趋势、季节性变化、周期性等信息，并用这些信息来预测未来的数据走向。 时间序列通常被分为四种主要的成分：趋势（长期方向）、季节性（周期性）、循环（非固定周期）、和不规则性（随机波动）。这些成分