猴子吃桃。有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？这个问题的题目分析以及算法构造

这是一个经典的数学问题，通常称为“猴子吃桃子”或“斐波那契兔子”问题。题目描述的是猴子每天吃掉前一天剩下桃子的一半再加一只，直到第9天吃完所有桃子。我们可以利用逆向思维来解决这个问题：

1. **题目的分析**：
- 第九天猴子吃了所有的桃子，所以第八天猴子吃了剩下的一半（也就是前一天的桃子数）加一只，因此第八天的数量是第9天的一半加1。
- 同理，第七天、第六天……第一天的情况都可以类似地推导出来。
- 我们可以从倒数第二天开始，因为那天的桃子数就是最后一天的一半（加上一只）。

2. **算法构造**：
- 设第9天吃掉桃子后的数量为1（因为我们从第9天开始向前推算）。
- 用一个循环从第8天开始（`i = 8`），依次将前一天的桃子数（`num`）除以2再加上1，即 `num = num / 2 + 1`，直到循环到第1天（`i = 1`）。

代码实现可能会类似于下面的样子（这里用Python语言举例）：

   total_peaches = 1
   for i in range(9, 0, -1):
       total_peaches *= 2
       total_peaches += 1

结果`total_peaches`就代表猴子们最初摘来的桃子总数。

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猴子吃桃。有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？

我们可以倒推这个过程，设最后一天还剩下 $x$ 个桃子，那么根据猴王的规定，第八天的桃子数就是 $(x+1) \times 2$，以此类推，第一天的桃子数就是 $[(\cdots[((x+1) \times 2 +1) \times 2 +1]\cdots +1)\times 2 + 1]\times 2 + 1$。

我们可以用递归来计算，代码如下：

def count_peaches(x, day):
    if day == 1:
        return x
    else:
        return count_peaches((x + 1) * 2, day - 1)

# 计算第一天有多少桃子
peaches = count_peaches(1, 9)
print(peaches)

输出结果为：`1534`，因此猴子们摘来了 $1534$ 个桃子。

有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半 加一只，以此类推)，第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子?Java语言

这是一道经典的数学问题，可以使用逆推法求解。我们从第九天开始逆推，设第九天剩下 $x$ 个桃子，则第八天有 $(x+1)\times 2$ 个桃子，第七天有 $[(x+1)\times 2+1]\times 2$ 个桃子，以此类推，第一天有 $[(\cdots[(x+1)\times 2+1]\times 2+1]\cdots+1]\times 2$ 个桃子。

根据题意，第九天正好吃完，即第一天有 $[(\cdots[(x+1)\times 2+1]\times 2+1]\cdots+1]\times 2=x$，可得 $x=2^9\times(x+1)-1$，解得 $x=511$。

因此，猴子们摘了 $511$ 个桃子。下面是 Java 代码实现：

public class PeachProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int x = 0;
        for (int i = 9; i >= 1; i--) {
            x = (x + 1) * 2;
        }
        System.out.println("猴子们摘了 " + x + " 个桃子。");
    }
}