在一个2 k ×2 k 个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其它方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。
时间: 2024-06-15 11:06:09 浏览: 19
在一个2k×2k个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其它方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。
这个问题可以使用递归的方法来解决。首先,将整个棋盘分成4个大小相等的子棋盘,每个子棋盘都有一个特殊方格。然后,按照以下步骤进行覆盖:
1. 如果棋盘的大小为1×1,那么直接将特殊方格用一个L型骨牌覆盖即可。
2. 否则,将整个棋盘分成4个大小相等的子棋盘。其中3个子棋盘的特殊方格与原棋盘的特殊方格相邻,另一个子棋盘的特殊方格位于中心位置。
3. 递归地对每个子棋盘进行覆盖,直到棋盘的大小为1×1。
4. 最后,将4个子棋盘的覆盖结果合并起来,形成整个棋盘的覆盖方案。
需要注意的是,每个L型骨牌可以覆盖3个方格,因此在每个子棋盘的特殊方格周围有3个空白方格。根据这个规律,可以确定每个子棋盘的特殊方格的位置,并进行递归覆盖。
相关问题
在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中。代码
这里是一个基本的实现,可以用来生成一个2k×2k个方格组成的棋盘。代码中使用了Python的turtle库来进行可视化,可以在屏幕上显示棋盘。
```python
import turtle
# 设置窗口大小
window = turtle.Screen()
window.setup(1200, 1200)
# 定义常量
SIZE = 2000 # 棋盘大小
CELL_SIZE = SIZE // 20 # 格子大小
# 初始化画笔
pen = turtle.Turtle()
pen.speed(0)
pen.hideturtle()
pen.penup()
# 绘制棋盘
for i in range(-SIZE//2, SIZE//2+1, CELL_SIZE):
for j in range(-SIZE//2, SIZE//2+1, CELL_SIZE):
pen.goto(i, j)
pen.pendown()
pen.begin_fill()
for k in range(4):
pen.forward(CELL_SIZE)
pen.right(90)
pen.end_fill()
# 显示结果
turtle.done()
```
这个代码使用了turtle库,首先设置了窗口大小为1200x1200,然后定义了棋盘大小为2000。接着初始化了画笔,并且设置了画笔的速度和隐藏画笔。然后在循环中依次绘制每一个格子,并且填充颜色。最后显示结果。
这个代码可以生成一个2k×2k个方格组成的棋盘,你可以根据需要修改棋盘的大小和格子的大小。
2. 棋盘覆盖 在一个2k x 2k ( 即:2^k x 2^k )个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其他方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的
棋盘,使得特殊方格恰好被覆盖且每个骨牌恰好覆盖两个方格。下面给出一种分治算法的思路:
1. 找到特殊方格所在的象限(即左上、左下、右上、右下),并确定该象限内的一个角作为新的特殊方格。
2. 用一个 L 型骨牌覆盖该角和另外三个角中的两个。
3. 将棋盘分成四个子棋盘,分别递归地进行覆盖。
4. 当棋盘大小为 2x2 时,直接覆盖即可。
代码实现如下:
```
def cover(board, tr, tc, dr, dc, size, tile_num):
"""
board: 棋盘
tr, tc: 左上角的坐标
dr, dc: 特殊方格的坐标
size: 棋盘大小
tile_num: 骨牌编号
"""
global tile_count
if size == 1:
return
# 找到特殊方格所在的象限
s = size // 2
if dr < tr + s and dc < tc + s:
# 左上象限
new_dr, new_dc = tr + s - 1, tc + s
elif dr < tr + s and dc >= tc + s:
# 右上象限
new_dr, new_dc = tr + s - 1, tc + s - 1
elif dr >= tr + s and dc < tc + s:
# 左下象限
new_dr, new_dc = tr + s, tc + s
else:
# 右下象限
new_dr, new_dc = tr + s, tc + s - 1
# 覆盖 L 型骨牌
tile_count += 1
t = tile_num + tile_count
board[tr + s - 1][tc + s - 1], board[new_dr][new_dc] = t, t
board[tr + s][tc + s - 1], board[tr + s][tc + s] = t, t
# 递归处理四个子棋盘
cover(board, tr, tc, new_dr, new_dc, s, tile_num)
cover(board, tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s, tile_num)
cover(board, tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s, tile_num)
cover(board, tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s, tile_num)
# 测试
size = 8
board = [[0] * size for _ in range(size)]
tile_count = 0
cover(board, 0, 0, 2, 3, size, 0)
for row in board:
print(row)
```
该算法的时间复杂度为 $O(4^k)$,空间复杂度为 $O(k^2)$。由于 $k$ 的值较小,该算法可以在实际应用中取得较好的效果。
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