||x^(k+1)||/||x^k||的极限
时间: 2023-10-30 07:06:44 浏览: 70
根据给出的式子,我们可以将其转化为极限的形式求解。设 x^k ≠ 0,则有:
lim(x→∞) ||x^(k+1)|| / ||x^k||
= lim(x→∞) ||x^(k+1)|| * (1 / ||x^k||)
= lim(x→∞) ||x^k * x|| * (1 / ||x^k||)
= lim(x→∞) ||x|| * (1 / ||x^k||)
= lim(x→∞) (||x|| / ||x^k||)
由于 k 是常数,那么 x 的阶数比 x^k 高,即 x^k 的阶数小于 x。因此,当 x 趋向正无穷时,分子和分母都趋向正无穷,所以可以使用洛必达法则。
利用洛必达法则,我们对分子和分母同时求导,得到:
lim(x→∞) (d/dx ||x||) / (d/dx ||x^k||)
= lim(x→∞) (d/dx x) / (d/dx x^k)
= lim(x→∞) 1 / (k * x^(k-1))
当 k > 1 时,极限等于 0.
当 k = 1 时,极限等于 1.
当 k < 1 时,极限不存在。
所以,极限值取决于 k 的取值情况。
相关问题
limx→kπ (k=+-1,) x/sinx 左右极限的值
根据给定的函数 lim(x→kπ) x/sin(x),其中k可以为正负1,我们可以分别计算左右极限。
首先考虑k=1时,计算左极限:
lim(x→π-) x/sin(x) = lim(x→π-) x/(sin(x)) = (π-0)/(sin(π)) = π/0 = 无穷大
然后计算右极限:
lim(x→π+) x/sin(x) = lim(x→π+) x/(sin(x)) = (π+0)/(sin(π)) = π/0 = 无穷大
接下来考虑k=-1时,计算左极限:
lim(x→-π-) x/sin(x) = lim(x→-π-) x/(sin(x)) = (-π-0)/(sin(-π)) = -π/0 = 负无穷大
然后计算右极限:
lim(x→-π+) x/sin(x) = lim(x→-π+) x/(sin(x)) = (-π+0)/(sin(-π)) = -π/0 = 负无穷大
综上所述,当k为正负1时,lim(x→kπ) x/sin(x) 的左右极限都不存在。
:对于二元函数 $f(x,y) = \frac{x^2y^3}{x^4+y^6}$,当 $(x,y) \rightarrow (0,0)$ 时,$f(x,y)$ 的极限是否存在?如果存在,请给出极限值;如果不存在,请解释原因。
我们可以先分别考虑 $x = 0$ 和 $y = 0$ 时的极限。
当 $x = 0$ 时,$f(x,y) = 0$,所以 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = 0$。
当 $y = 0$ 时,$f(x,y) = 0$,所以 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = 0$。
接下来,我们考虑当 $(x,y)$ 沿着直线 $y = kx$ 逼近 $(0,0)$ 时的极限。此时,$f(x,y) = \frac{x^2 y^3}{x^4+y^6} = \frac{k^3 x^5}{x^4+k^6 x^6} = \frac{k^3}{1+k^6 x^2}$。因此,当 $(x,y)$ 沿着直线 $y = kx$ 逼近 $(0,0)$ 时,$f(x,y)$ 的极限为 $0$。
由于 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 附近的极限存在且为 $0$,因此可以得出 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的极限存在且为 $0$。
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