求dy/dx=y/(2x-y^2)通解的详细过程

首先，将方程变形为 dy/y = (dx/(2x-y^2))，然后对两边同时积分，得到 ln|y| = -1/2 ln|2x-y^2| + C，其中 C 为常数。

接下来，将等式两边同时取指数，得到 |y| = e^C / sqrt(2x-y^2)，由于 e^C 为正数，所以可以去掉绝对值符号。

最后，将等式两边平方，得到 y^2 = (e^C)^2 / (2x-y^2)，再将 y^2 移项，得到 y^2 + y^2/(2x-y^2) = e^(2C)，化简得到 y^2 = (2x e^(2C)) / (1+e^(2C))。

因此，通解为 y^2 = (2x C) / (1+C)，其中 C 为任意常数。

相关问题

求dy/dx=2xy/（x^2+y^2）的通解

### 回答1：

求解dy/dx=2xy/(x^2 y^2)的通解，可以先积分两边：∫dy/dx dx = ∫2xy/(x^2 y^2) dx，再求出积分结果：y=x^2/(2y)+C，其中C为任意常数，便是该方程的通解。

### 回答2：
要求解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^2y^2}$ 的通解。

首先，我们可以将方程写成如下形式：

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{xy}$

然后，我们可以对方程进行变量分离：

$ydy=2xdx$

接下来，我们可以对上述方程两边同时积分：

$\int ydy=\int 2xdx$

对左边进行积分得到：

$\frac{y^2}{2}+C_1$

对右边进行积分得到：

$x^2+C_2$

其中，$C_1$ 和 $C_2$ 是积分常数。

将上述两个结果相加，得到方程的通解为：

$\frac{y^2}{2}+C_1=x^2+C_2$

可以将其整理为以下形式：

$\frac{y^2}{2}-x^2=C$

其中，$C=C_2-C_1$ 也是一个常数。

因此，微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^2y^2}$ 的通解为 $\frac{y^2}{2}-x^2=C$，其中 $C$ 是一个常数。

### 回答3：
首先，该微分方程可以通过分离变量的方法求解。

将方程重新整理得到：

dy/y^2 = 2xdx/(x^2)

对等式的两边同时积分：

∫(dy/y^2) = ∫(2xdx/x^2)

对于左边的积分，我们可以利用基本积分公式 ∫(dx/x^n) = -1/(n-1) * x^(-n+1)。

∫(dy/y^2) = -1/y

对于右边的积分，我们可以将2和x分开，并将dx/x^2转化为d(1/x)：

∫(2xdx/x^2) = 2∫(d(1/x)) = 2ln|x|

现在，我们可以将积分的结果代入原方程：

-1/y = 2ln|x|

将方程两边取倒数并移项得到：

y = -1/(2ln|x|)

所以，原微分方程的通解为：

y = -1/(2ln|x|)，其中x ≠ 0.

求微分方程：dy/dx= xy /(y^3+(x^2)*（1+y）)的通解

首先，将分式部分拆分为两项，得到：

dy/dx = x/(x^2*y^2) - 1/(y^2*(1+y))

将右侧的两项进行通分，得到：

dy/dx = (x*(1+y) - (x^2*y))/(x^2*y^2*(1+y))

再将分母部分拆分得到：

dy/dx = x/(x^2*y^2) - y/(x^2*(1+y)) + 1/(x^2*y*(1+y))

接下来，我们可以使用分离变量法进行求解，将等式两侧同时乘以 y^2*(1+y)，得到：

y^2*(1+y)*dy = x*dx/(x^2*y^2) - y^2*(1+y)*dx/(x^2) + dx/(x^2*y)

对等式两侧分别积分，得到：

∫(y^2*(1+y))*dy = ∫(x*dx/(x^2*y^2) - y^2*(1+y)*dx/(x^2) + dx/(x^2*y))

化简上式，得到：

y^3/3 + (y^2/2) = -1/(x*y) - y/(2*x) + ln|x| + C

因此，微分方程的通解为：

y^3/3 + (y^2/2) = -1/(x*y) - y/(2*x) + ln|x| + C，其中 C 为任意常数。