双骰是根据掷出的两颗骰子点数之和判断输赢的一种游戏。玩家下注后掷出两颗骰子，称出场掷。输赢规则如下： (1）出场掷两颗骰子点数之和是7、11，玩家赢，此轮结束。(2）出场掷两颗骰子点数之和是2、3、12，玩家输，此轮结束。骰子，直到牌点或点数之和7出现。如果牌点先出现，玩家赢，此轮结束；如果7先出现，玩家输，此轮结束。 (3）出场掷两颗骰子点数之和是4、5、6、8、9、10，该数字成为牌点，玩家继续掷计算各种结果出现的概率，并由此计算玩家劣势。写一个完整的数学建模过程

一、问题概述

双骰游戏是一种赌博游戏，玩家下注后掷出两颗骰子，根据骰子点数之和判断输赢。本文将建立一个数学模型，分析玩家在双骰游戏中的胜率及下注策略。

二、模型假设

1. 在双骰游戏中，每次掷骰子的结果是独立的，即前一次掷骰子的结果不会影响下一次掷骰子的结果；
2. 每次掷骰子的结果只与骰子的点数有关，与骰子的大小、形状等因素无关；
3. 玩家和庄家均采用理性决策，即他们的决策都是基于最大化自己的利益的。

三、符号说明

1. $P_{win}$：玩家获胜的概率；
2. $P_{lose}$：玩家失败的概率；
3. $P_{point}$：玩家进入点数阶段的概率；
4. $P_{7}$：玩家在点数阶段中掷出7的概率；
5. $P_{point\_win}$：玩家在点数阶段中获胜的概率；
6. $P_{point\_lose}$：玩家在点数阶段中失败的概率；
7. $P_{4}$、$P_{5}$、$P_{6}$、$P_{8}$、$P_{9}$、$P_{10}$：玩家进入点数阶段时，点数为4、5、6、8、9、10的概率；
8. $P_{2}$、$P_{3}$、$P_{12}$：出场掷两颗骰子点数之和是2、3、12的概率；
9. $P_{7\_out}$：玩家在点数阶段中掷出7而失败的概率。

四、模型建立

1. 出场阶段

根据游戏规则，出场掷两颗骰子点数之和是7、11，玩家赢，出场掷两颗骰子点数之和是2、3、12，玩家输。因此，玩家获胜的概率为：

$$P_{win}=\frac{P_{7}+P_{11}}{P_{2}+P_{3}+P_{12}+P_{7}+P_{11}}$$

玩家失败的概率为：

$$P_{lose}=\frac{P_{2}+P_{3}+P_{12}}{P_{2}+P_{3}+P_{12}+P_{7}+P_{11}}$$

其中，$P_{7}$表示掷出两颗骰子点数之和是7的概率，$P_{11}$表示掷出两颗骰子点数之和是11的概率，$P_{2}$、$P_{3}$、$P_{12}$分别表示掷出两颗骰子点数之和是2、3、12的概率。

2. 点数阶段

当出场掷两颗骰子点数之和是4、5、6、8、9、10时，玩家进入点数阶段，此时，该数字成为牌点，玩家需要继续掷骰子，直到牌点或点数之和7出现。如果牌点先出现，玩家赢，如果7先出现，玩家输。

根据全概率公式，玩家进入点数阶段的概率为：

$$P_{point}=P_{4}+P_{5}+P_{6}+P_{8}+P_{9}+P_{10}$$

其中，$P_{4}$、$P_{5}$、$P_{6}$、$P_{8}$、$P_{9}$、$P_{10}$分别表示出场掷两颗骰子点数之和是4、5、6、8、9、10的概率。

当玩家进入点数阶段时，掷出7的概率为：

$$P_{7}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

掷出牌点的概率为：

$$P_{point\_win}=\frac{P_{4}+P_{5}+P_{6}+P_{8}+P_{9}+P_{10}}{36}$$

掷出7而失败的概率为：

$$P_{7\_out}=\frac{P_{7}P_{lose}}{P_{point}}$$

掷出牌点而获胜的概率为：

$$P_{point\_win}=\frac{P_{point}-P_{7\_out}}{1-P_{7}}$$

掷出牌点而失败的概率为：

$$P_{point\_lose}=1-P_{7}-P_{point\_win}$$

五、模型求解

1. 出场阶段

根据游戏规则，掷出两颗骰子点数之和是2、3、12的概率为：

$$P_{2}=P_{3}=\frac{1}{36}$$

$$P_{12}=\frac{1}{36}$$

掷出两颗骰子点数之和是7、11的概率为：

$$P_{7}=P_{6}+P_{8}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

$$P_{11}=P_{5}+P_{6}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$

因此，玩家获胜的概率为：

$$P_{win}=\frac{1}{6}+\frac{1}{18}=\frac{2}{9}\approx0.222$$

玩家失败的概率为：

$$P_{lose}=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{1}{12}\approx0.0833$$

2. 点数阶段

根据游戏规则，出场掷两颗骰子点数之和是4、5、6、8、9、10的概率为：

$$P_{4}=P_{10}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$

$$P_{5}=P_{9}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

$$P_{6}=P_{8}=\frac{5}{36}\approx0.139$$

因此，玩家进入点数阶段的概率为：

$$P_{point}=\frac{1}{12}+\frac{1}{9}+2\times0.139\approx0.492$$

掷出7的概率为：

$$P_{7}=\frac{1}{6}$$

掷出牌点的概率为：

$$P_{point\_win}=\frac{\frac{1}{12}+\frac{1}{9}+2\times0.139}{36}\approx0.0907$$

掷出7而失败的概率为：

$$P_{7\_out}=\frac{\frac{1}{6}\times\frac{1}{12}}{0.492}\approx0.0324$$

掷出牌点而获胜的概率为：

$$P_{point\_win}=\frac{0.492-0.0324}{1-\frac{1}{6}}\approx0.4118$$

掷出牌点而失败的概率为：

$$P_{point\_lose}=1-\frac{1}{6}-0.4118\approx0.2212$$

六、结论

综合出场阶段和点数阶段的结果，玩家获胜的总概率为：

$$P_{total}=\frac{2}{9}\times(1-P_{point})+0.4118\times P_{point}=\frac{2}{9}\times(1-0.492)+0.4118\times0.492\approx0.2412$$

玩家的失败概率为：

$$P_{total\_lose}=1-P_{total}\approx0.7588$$

因此，玩家在双骰游戏中的胜率为24.12%，失败概率为75.88%。根据最大化利益的原则，玩家应该采取下注金额小、胜率高的策略，以最大化自己的利益。