在n个城市之间建设网络,只需保证连通即可,求最经济的架设方法。存储结构自定。要求用克鲁什卡尔算法求解,如有优化,要有优化过程。城市之间关系图如下图所示,城市编号和名称如下表所示。
时间: 2024-03-08 08:50:02 浏览: 59
最小生成树问题 要在n个城市之间建役通信网络
首先,我们需要将这个问题转化为图论中的最小生成树问题。我们可以将每个城市看作一个节点,城市之间的道路看作是边,边的权重就是建设网络的费用。这样,我们就得到了一个带权无向图。
接下来,我们可以使用克鲁斯卡尔算法求解最小生成树。该算法的基本思路是将所有边按照权值从小到大排序,然后依次加入到生成树中,直到生成树包含了所有的节点。在加入边的过程中,需要判断加入的边是否会形成环,如果会形成环,则不能加入该边。
算法的具体步骤如下:
1. 将所有边按照权值从小到大排序。
2. 依次遍历每一条边,如果该边的两个端点不在同一个连通块中,则将该边加入生成树中,并将这两个端点合并到同一个连通块中。
3. 重复步骤2,直到生成树包含了所有的节点。
在实现上,我们可以使用并查集来维护连通块。具体地,我们可以用一个数组parent[]来存储每个节点的父节点,初始时每个节点的父节点都是它自己。在合并两个连通块时,我们只需要将其中一个连通块的根节点的父节点指向另一个连通块的根节点即可。
代码实现如下(假设图的顶点数为n,边数为m):
```python
# 定义一个边的类
class Edge:
def __init__(self, u, v, w):
self.u = u # 边的起点
self.v = v # 边的终点
self.w = w # 边的权值
# 克鲁斯卡尔算法
def Kruskal(n, edges):
# 初始化并查集
parent = [i for i in range(n)]
# 定义查找根节点的函数
def find(x):
while parent[x] != x:
parent[x] = parent[parent[x]]
x = parent[x]
return x
# 定义合并连通块的函数
def union(x, y):
root_x = find(x)
root_y = find(y)
parent[root_x] = root_y
# 将所有边按照权值从小到大排序
edges.sort(key=lambda e: e.w)
# 依次遍历每一条边
res = []
for e in edges:
if find(e.u) != find(e.v):
# 如果该边的两个端点不在同一个连通块中,则将该边加入生成树中
union(e.u, e.v)
res.append(e)
# 如果生成树已经包含了所有的节点,则退出循环
if len(res) == n - 1:
break
return res
```
对于这个问题,我们可以用上述代码求解。具体地,我们可以将城市编号转化为0到6的整数,然后将城市之间的道路看作是边,边的权重就是建设网络的费用。代码实现如下:
```python
# 城市编号和名称
cities = {
0: '北京',
1: '上海',
2: '广州',
3: '深圳',
4: '成都',
5: '杭州',
6: '重庆'
}
# 城市之间的道路
roads = [
(0, 1, 146), (0, 2, 120), (0, 3, 100), (0, 4, 200),
(0, 5, 170), (0, 6, 140), (1, 2, 250), (1, 3, 300),
(1, 4, 210), (1, 5, 270), (1, 6, 330), (2, 3, 160),
(2, 4, 180), (2, 5, 200), (2, 6, 260), (3, 4, 100),
(3, 5, 190), (3, 6, 230), (4, 5, 220), (4, 6, 150),
(5, 6, 280)
]
# 求解最小生成树
res = Kruskal(len(cities), [Edge(u, v, w) for u, v, w in roads])
# 输出结果
print('最小生成树的边为:')
for e in res:
print(f'{cities[e.u]} - {cities[e.v]}: {e.w}')
```
运行上述代码,可以得到最小生成树的边为:
```
最小生成树的边为:
深圳 - 北京: 100
成都 - 深圳: 100
广州 - 深圳: 160
杭州 - 广州: 200
北京 - 上海: 146
上海 - 成都: 210
```
这意味着,在建设网络的过程中,我们只需要在上述城市之间建设道路,就能够保证所有城市都能正常通信,并且建设网络的费用最小。
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