matlab实现两个有限长卷积的证明

假设有两个长度为 $N$ 的序列 $x[n]$ 和 $h[n]$，它们的卷积为 $y[n] = x[n] * h[n]$。另外还有两个长度为 $M$ 的序列 $p[n]$ 和 $q[n]$，它们的卷积为 $z[n] = p[n] * q[n]$。

我们现在想证明的是，两个卷积序列的卷积也是有限长的，并且长度不超过 $N+M-1$。也就是说，存在一个长度为 $N+M-1$ 的序列 $r[n]$，使得 $y[n] * z[n] = r[n]$，其中 $*$ 表示卷积运算。

证明如下：

首先，我们可以将 $y[n]$ 和 $z[n]$ 表示为矩阵形式，即：

$$
\mathbf{Y} = \begin{bmatrix}
x[0] & 0 & \cdots & 0 \\
x[1] & x[0] & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x[N-1] & x[N-2] & \cdots & x[0]
\end{bmatrix}, \quad
\mathbf{Z} = \begin{bmatrix}
p[0] & 0 & \cdots & 0 \\
p[1] & p[0] & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
p[M-1] & p[M-2] & \cdots & p[0]
\end{bmatrix}
$$

其中，$\mathbf{Y}$ 和 $\mathbf{Z}$ 都是 $N \times N$ 的矩阵。我们可以将 $y[n]$ 和 $z[n]$ 看作是这两个矩阵的第一列和第一行。这样，$y[n] * z[n]$ 就相当于是 $\mathbf{Y}$ 和 $\mathbf{Z}$ 的乘积矩阵的第一列。

根据矩阵乘法的定义，$\mathbf{Y} \mathbf{Z}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为：

$$
(\mathbf{Y} \mathbf{Z})_{i,j} = \sum_{k=0}^{N-1} y[k] z[i-j+k]
$$

将 $y[k]$ 和 $z[i-j+k]$ 的定义代入上式，得到：

$$
(\mathbf{Y} \mathbf{Z})_{i,j} = \sum_{k=0}^{N-1} x[k] h[i-j+k] \sum_{l=0}^{M-1} p[l] q[k-j+l]
$$

交换求和符号，得到：

$$
(\mathbf{Y} \mathbf{Z})_{i,j} = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{l=0}^{M-1} x[k] p[l] h[i+k-j] q[k-j+l]
$$

现在我们可以看到，$(\mathbf{Y} \mathbf{Z})_{i,j}$ 实际上就是 $y[n] * z[n]$ 在位置 $i-j$ 处的值。也就是说：

$$
y[n] * z[n] = \begin{cases}
\sum_{k=0}^{i} \sum_{l=0}^{j} x[k] p[l] h[i-k] q[j-l] & i+j \leq N+M-2 \\
0 & i+j > N+M-2
\end{cases}
$$

因此，$y[n] * z[n]$ 确实是一个长度为 $N+M-1$ 的有限长序列，证毕。