从空树开始，使用关键字序列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，建立一棵平衡二叉排序树。

首先，我们需要将关键字序列排序，得到：1，2，3，4，5，6，7，8，9。

接下来，我们需要构建平衡二叉排序树。一种简单的方法是采用中序遍历的方式，将关键字序列依次插入树中。

具体步骤如下：

1. 将序列的中间元素 5 插入根节点。
2. 将序列左半部分（1,2,3,4）的中间元素 2 插入 5 的左子树。
3. 将序列右半部分（6,7,8,9）的中间元素 8 插入 5 的右子树。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直到所有元素都被插入树中。

最终得到的平衡二叉排序树如下所示：

         5
       /   \
      2     8
     / \   / \
    1   3 6   9
         \
          4
           \
            7

相关问题

从空树开始，使用关键字序列：a,g,c,b,k,d,h,m,j,e,s,i,r,x，建立： （1）4阶B-树 （2）5阶B-树

（1）4阶B-树的建立过程如下：

首先，将关键字序列按照升序排列：a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, m, r, s, x。

然后，按照B-树的插入规则，逐个将关键字插入到B-树中。

首先，插入关键字a，由于树为空，直接将a作为根节点。

接下来，插入关键字g，由于根节点只有一个关键字，直接将g插入到根节点。

再插入关键字c，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

然后，插入关键字b，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

接着，插入关键字k，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

再插入关键字d，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

然后，插入关键字h，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

接着，插入关键字m，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

再插入关键字j，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

然后，插入关键字e，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

接着，插入关键字s，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

再插入关键字i，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

然后，插入关键字r，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

最后，插入关键字x，由于根节点已经有两个关键字，需要进行分裂。将根节点分裂成两个节点，中间的关键字c上升到父节点。

至此，4阶B-树的建立完成。

（2）5阶B-树的建立过程与4阶B-树类似，只是在插入关键字时，每个节点可以容纳的关键字数量更多。

请问还有其他问题吗？

从空树开始，使用关键字序列：a,g,h,b,k,d,h,m,j,e,s,i,r,x，建立： （1）4阶B-树 （2）5阶B-树

### 回答1：
(1) 4阶B-树：

首先，将关键字序列分成如下的四个组：

a g h b
k d h m
j e s i
r x

然后，构建空树，该空树的根节点为一个叶节点。注意，节点中最多可以包含3个关键字。

       [ ]

将第一组关键字插入到根节点中，得到如下的B-树：

       [a,g,h,b]

将第二组关键字插入到B-树中，得到如下的B-树：

           [h]
          / | \
 [a,b,g]  [d] [k,m]

将第三组关键字插入到B-树中，得到如下的B-树：

            [h]
      /      |      \
 [a,b,g]   [d,h,i]   [j,k,m,s]
      |     / | \     / | | \
      [e] [r] [x]    [ ]

最后，将最后一组关键字插入到B-树中，得到完整的B-树：

            [h]
      /      |      \
 [a,b,g]   [d,h,i]   [j,k,m,s]
      |     / | \     / | | \
      [e] [r] [x]    [ ]

(2) 5阶B-树：

将关键字序列分成如下的五个组：

a g h b k
d h m j e
s i r x

构建空树，该空树的根节点为一个叶节点。注意，节点中最多可以包含4个关键字。

           [ ]

将第一组关键字插入到根节点中，得到如下的B-树：

           [a,g,h,b,k]

将第二组关键字插入到B-树中，得到如下的B-树：

              [h]
            /  |  \
 [a,b,g]   [d] [k,m] [s]
         / | \     / | \
        [e] [h,i] [j] [r,x]

将第三组关键字插入到B-树中，得到如下的B-树：

              [h]
            /  |  \
 [a,b,g]   [d] [k,m] [s]
         / | \     / | \
        [e] [h,i] [j] [r,x]
             |
            [m]

将第四组关键字插入到B-树中，得到如下的B-树：

              [h]
            /  |  \
 [a,b,g]   [d] [k,m] [s]
         / | \     / | \
        [e] [h,i] [j] [r,x]
      / | \    |
     [i] [j]  [m]
        /|\    |
       [r] [s] [x]

最后，将最后一组关键字插入到B-树中，得到完整的B-树：

              [h]
            /  |  \
 [a,b,g]   [d] [k,m] [s]
         / | \     / | \
        [e] [h,i] [j] [r,x]
      / | \    |    |   | \
     [i] [j]  [m]   [s] [x] [ ]
        /|\    |    |   | \
       [r] [u] [v]  [w] [y] [z]

### 回答2：
(1) 4阶B-树建立过程：

1. 初始化一个空树作为初始状态。
2. 插入关键字"a"，根节点为该关键字。
3. 插入关键字"g"，比较插入的关键字与当前节点的关键字，如果小于根节点"a"，则将"g"作为根节点的左子节点，否则作为右子节点。
4. 插入关键字"h"，继续比较插入的关键字与当前节点的关键字，发现当前节点有两个关键字，将其分裂为两个节点，并将"g"作为父节点的关键字。分裂后，根节点"a"扩展为三个子节点，分别是"g"、"a"和"h"。
5. 插入关键字"b"，比较插入的关键字与当前节点的关键字，发现当前节点有两个关键字，继续向下遍历。找到合适的位置插入"b"，并调整节点的结构。最终，根节点"a"扩展为四个子节点，分别是"b"、"g"、"a"和"h"。
6. 插入关键字"k"、"d"、"h"、"m"、"j"、"e"，依次比较并插入，最终根节点"a"扩展为八个子节点，分别是"d"、"g"、"j"、"m"、"b"、"e"、"h"和"a"。
7. 插入关键字"s"，继续向下遍历并插入，最终形成根节点"a"的四个子节点的四叉树结构。
8. 继续插入关键字"i"、"r"、"x"，按照上述步骤进行插入，最终形成4阶B-树。

(2) 5阶B-树建立过程：

1. 初始化一个空树作为初始状态。
2. 插入关键字"a"，根节点为该关键字。
3. 插入关键字"g"，比较插入的关键字与当前节点的关键字，如果小于根节点"a"，则将"g"作为根节点的左子节点，否则作为右子节点。
4. 插入关键字"h"，继续比较插入的关键字与当前节点的关键字，发现当前节点有两个关键字，将其分裂为两个节点，并将"g"作为父节点的关键字。分裂后，根节点"a"扩展为三个子节点，分别是"g"、"a"和"h"。
5. 插入关键字"b"，比较插入的关键字与当前节点的关键字，发现当前节点有两个关键字，继续向下遍历。找到合适的位置插入"b"，并调整节点的结构。最终，根节点"a"扩展为四个子节点，分别是"b"、"g"、"a"和"h"。
6. 插入关键字"k"、"d"，依次比较并插入，形成根节点"a"的四个子节点的四叉树结构。
7. 插入关键字"h"、"m"、"j"、"e"，继续按照上述步骤进行插入，最终根节点"a"的四个子节点扩展为六个子节点。
8. 插入关键字"s"、"i"、"r"、"x"，继续按照上述步骤进行插入，最终形成5阶B-树。

注意：以上过程只是简单描述了从空树开始，按照给定关键字序列建立4阶和5阶B-树的过程，并未考虑具体的平衡调整操作。实际上，在插入过程中可能需要对节点进行分裂、旋转等操作以保持B-树的平衡性。

### 回答3：
（1）4阶B-树的建立过程如下：
首先，将关键字序列按照升序排序得到：a、b、d、e、g、h、h、i、j、k、m、r、s、x。
然后，将根节点初始化为空，创建一个空子节点。
将第一个关键字a插入到根节点，成为该节点的唯一关键字。
将第二个关键字b插入到根节点，此时根节点已满。
进行分裂操作，将根节点的中间关键字d上升到一个新的根节点，左侧的关键字a和子节点指针成为新的左子节点，右侧的关键字g和子节点指针成为新的右子节点。
将第三个关键字d插入到根节点的右子节点中，此时右子节点已满。
进行分裂操作，将右子节点的中间关键字h上升到新的根节点，左侧的关键字g和子节点指针成为新的左子节点，右侧的关键字k和子节点指针成为新的右子节点。
将第四个关键字e插入到根节点的左子节点中，此时左子节点已满。
进行分裂操作，将左子节点的中间关键字b上升到新的根节点，左侧的关键字a和子节点指针成为新的左子节点，右侧的关键字d和子节点指针成为新的右子节点。
重复以上步骤，将剩余关键字依次插入到已建立的B-树中，最终得到一个4阶B-树。
（2）5阶B-树的建立过程与4阶B-树类似，只是在每次节点分裂时将中间关键字上升到新的根节点需要注意。具体步骤如下：
将关键字序列排序得到：a、b、d、e、g、h、h、i、j、k、m、r、s、x。
根节点为空，创建一个空子节点。
将第一个关键字a插入到根节点，成为该节点的唯一关键字。
将第二个关键字b插入到根节点，此时根节点已满。
进行分裂操作，将根节点的中间关键字d上升到一个新的根节点，左侧的关键字a、子节点指针和第一个子节点成为新的左子节点，右侧的关键字g、子节点指针和第二个子节点成为新的右子节点。
将第三个关键字d插入到根节点的右子节点中，此时右子节点已满。
可以选择将右子节点的中间关键字h上升到新的根节点，或者将d留在根节点，新建一个中间节点来存储h并调整指针。在这里，我们选择将d留在根节点，新建中间节点。
将第四个关键字e插入到根节点的左子节点中，此时左子节点已满。
进行分裂操作，将左子节点的中间关键字b上升到新的中间节点，左侧的关键字a、子节点指针和第一个子节点成为新的左子节点，右侧的关键字d、子节点指针和第二个子节点成为新的右子节点。
将第五个关键字g插入到新的中间节点，此时中间节点已满。
进行分裂操作，将中间节点的中间关键字h上升到新的根节点，左侧的关键字b、子节点指针和第一个子节点成为新的左子节点，右侧的关键字d、子节点指针和第二个子节点成为新的右子节点。
依次将剩余关键字插入到已建立的B-树中，最终得到一个5阶B-树。