\leqslant报错Undefined control sequence.
时间: 2023-07-21 10:31:16 浏览: 70
这个错误通常是因为你没有正确加载所需的宏包。在LaTeX中,\leqslant命令需要amssymb宏包中的支持才能正确显示。你可以在导言区中添加以下代码来加载宏包:
```
\usepackage{amssymb}
```
如果你已经加载了amssymb宏包但仍然遇到了这个错误,那么可能是因为你的TeX发行版版本过旧,需要更新到最新版才能解决该问题。
相关问题
我想让你解一下以下泊松方程\begin{equation} \left\{\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\sin (\pi x) \sin (\pi y), \quad 0 \leqslant x, y \leqslant 1\right. \end{equation} $u(x, y)=0 $along the boundaries which has the exact solution $$u_{e}(x, y)=-1 /\left(2 \pi^{2}\right) \sin (\pi x) \sin (\pi y) $$
好的,这是一个二维泊松方程,可以使用有限差分法进行求解。先将区域离散化为 $N\times N$ 个网格点,然后使用五点差分格式进行离散,得到以下的差分方程:
$$
\frac{u_{i+1, j}-2 u_{i, j}+u_{i-1, j}}{h^{2}}+\frac{u_{i, j+1}-2 u_{i, j}+u_{i, j-1}}{h^{2}}=f_{i, j}
$$
其中,$h=\frac{1}{N-1}$ 是网格步长,$f_{i,j}=\sin(\pi x_i)\sin(\pi y_j)$。
对于边界条件,可以使用 $u_{i,0}=u_{i,N-1}=u_{0,j}=u_{N-1,j}=0$。
由于该问题的解析解已知,可以通过比较数值解和解析解的误差来验证数值方法的正确性。
下面是 MATLAB 程序实现:
```matlab
clear all;clc;
% 定义问题参数
N = 101; % 离散点数
h = 1/(N-1); % 离散步长
x = linspace(0, 1, N); % 网格点坐标
y = linspace(0, 1, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = sin(pi*X).*sin(pi*Y); % 右端项
u_exact = -1/(2*pi^2)*sin(pi*X).*sin(pi*Y); % 精确解
u = zeros(N,N); % 数值解
% 进行迭代求解
tol = 1e-6; % 收敛精度
err = tol + 1; % 初始误差
while err > tol
u_old = u; % 保存上一次的数值解
% 迭代计算数值解
for i = 2:N-1
for j = 2:N-1
u(i,j) = (u(i+1,j) + u(i-1,j) + u(i,j+1) + u(i,j-1) - h^2*f(i,j))/4;
end
end
% 计算误差
err = max(max(abs(u - u_old)));
end
% 绘制数值解和精确解
figure(1);
surf(X,Y,u);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('U');
title('Numerical solution');
figure(2);
surf(X,Y,u_exact);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('U');
title('Exact solution');
% 计算数值解和精确解的误差
err = max(max(abs(u - u_exact)));
fprintf('The maximum error between numerical solution and exact solution is %.6f.\n', err);
```
运行该程序,可以得到数值解和精确解的图像,以及两者的误差。根据误差可以验证数值方法的正确性。
我对概率论零基础,请详细解答下这道题:设随机变量 $X$ 与 $Y$ 都服从区间 $[0,4]$ 上的均匀分布, 且 $P\{X \leqslant 3, Y \leqslant 3\}=\frac{9}{16}$, 则 $$ P\{X>3, Y>3\}= $$
根据概率的互补性质,有 $P\{X>3, Y>3\}=1-P\{X \leqslant 3, Y \leqslant 3\}$。又因为 $X$ 和 $Y$ 都服从区间 $[0,4]$ 上的均匀分布,所以 $P\{X \leqslant 3, Y \leqslant 3\}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$,从而 $P\{X>3, Y>3\}=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$。因此,答案是 $\frac{7}{16}$。