A=[1 2 1;2 2 3;-1 -3 0],求A的doolittle分解
时间: 2024-05-12 16:14:36 浏览: 8
Doolittle分解是将一个$n\times n$的矩阵$A$分解为一个下三角矩阵$L$和一个上三角矩阵$U$的乘积,即$A=LU$,其中$L$的对角线元素全是$1$。
具体的做法是,设$A=[a_{ij}]$,则
$$
\begin{aligned}
u_{1j}&=a_{1j},\quad j=1,2,\ldots,n,\\
l_{i1}&=\frac{a_{i1}}{u_{11}},\quad i=2,3,\ldots,n,\\
u_{ij}&=a_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}u_{kj},\quad i=2,3,\ldots,n,\ j=i,i+1,\ldots,n,\\
l_{ji}&=\frac{1}{u_{ii}}\left(a_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{jk}u_{ki}\right),\quad i=j+1,j+2,\ldots,n.
\end{aligned}
$$
最终得到的$L$和$U$矩阵如下:
$$
L=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\-1 & 1 & 1\end{matrix}\right],\quad
U=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1\\0 & -2 & 1\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right].
$$
以下是Matlab代码实现:
```matlab
A = [1 2 1; 2 2 3; -1 -3 0];
n = size(A, 1);
L = eye(n);
U = zeros(n);
for i = 1:n
U(1, i) = A(1, i);
L(i, 1) = A(i, 1) / U(1, 1);
end
for i = 2:n
for j = i:n
U(i, j) = A(i, j) - L(i, 1:i-1) * U(1:i-1, j);
end
for j = i+1:n
L(j, i) = (A(j, i) - L(j, 1:i-1) * U(1:i-1, i)) / U(i, i);
end
end
```