为什么V是正交矩阵,所以||Vx||₂ = ||x||₂
时间: 2023-11-09 13:09:49 浏览: 63
根据正交矩阵的定义,V是一个方阵,且其列向量两两正交且长度为1。因此,对于任意向量x,有Vx的长度等于||x||₂,因为V的列向量长度为1。同时,V的列向量两两正交,因此Vx的长度也等于||Vx||₂。因此,||Vx||₂ = ||x||₂,即V是正交矩阵时,对于任意向量x,有||Vx||₂ = ||x||₂。
相关问题
证明旋转矩阵中||ri||<=1
根据引用中提到的SLAM算法,我们可以推断出ri是指运动约束中的旋转矩阵中的元素。为了证明旋转矩阵中||ri||<=1,我们可以使用以下步骤:
1. 旋转矩阵R是一个正交矩阵,因此它的行向量和列向量都是单位向量,即||Ri||=1,其中i表示第i个行向量或列向量。
2. 旋转矩阵的行向量和列向量是正交的,因此它们之间的内积为0,即Ri·Rj=0,其中i≠j。
3. 根据向量内积的定义,Ri·Rj=||Ri||·||Rj||·cosθ,其中θ是Ri和Rj之间的夹角。
4. 将步骤2和步骤3中的公式代入,得到cosθ=0,因此θ=π/2或3π/2。
5. 由于旋转矩阵是正交矩阵,因此它的行向量和列向量之间的夹角只能是90度或270度。
6. 对于任何旋转矩阵中的元素ri,它都可以表示为两个行向量或列向量的内积,即ri=Ri·Rj或ri=Rj·Ri,其中i≠j。
7. 根据步骤5中的结论,Ri和Rj之间的夹角只能是90度或270度,因此cosθ=0或±1。
8. 将步骤7中的公式代入,得到||ri||=||Ri·Rj||=||Rj·Ri||=|cosθ|<=1。
因此,我们证明了旋转矩阵中||ri||<=1的结论。
设A属于Rmxn,试证明 |A||2>=max{|yTAx|:x属于Rnx1,y属于Rmx1,||x||2=||y||2=1};
设A属于Rmxn,要证明 |A2>=max{|yTAx|:x属于Rnx1,y属于Rmx1,||x||2||y||2=1}。
首先我们知道矩阵A的2-范数定义为矩阵A的最大奇异值,记作|A||2。而对于向量x和y,||x||2和||y||2分别表示向量x和y的2-范数。
根据矩阵的定义,我们可以将矩阵A表示为A = UΣV^T,其中U和V是正交矩阵,Σ是对角矩阵,对角线上的元素为矩阵A的奇异值。
现在考虑向量yTAx,可以将其展开为yTAx = yT(UΣV^T)x = (yTU)(Σ(V^Tx))。
由于U和V是正交矩阵,所以它们的转置矩阵等于它们的逆矩阵,即UT = U^-1,(V^T)x表示向量x在V的列空间上的投影。
根据向量的内积性质,|yTAx| = |(yTU)(Σ(V^Tx))| <= ||yTU||2 * ||Σ(V^Tx)||2。
由于U是正交矩阵,所以||yTU||2 = ||y||2 * ||U||2 = ||y||2 * 1 = ||y||2 = 1。
而||Σ(V^Tx)||2表示向量Σ(V^Tx)的2-范数,由于Σ是对角矩阵,所以||Σ(V^Tx)||2 = ||Σ||2 * ||V^Tx||2。
对于任意向量z,有||Σz||2 <= |Σ||2 * ||z||2,其中|Σ||2表示矩阵Σ的最大奇异值。
综上所述,|yTAx| <= ||yTU||2 * ||Σ(V^Tx)||2 <= 1 * |Σ||2 * ||V^Tx||2 = |Σ||2 * ||V^Tx||2。
由于|Σ||2表示矩阵Σ的最大奇异值,所以|yTAx| <= |Σ||2 * ||V^Tx||2 <= |A||2 * ||x||2 = |A||2。
因此,我们得到了不等式 |yTAx| <= |A||2,即 |A||2>=max{|yTAx|:x属于Rnx1,y属于Rmx1,||x||2=||y||2=1} 成立。
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