使用【c】写【householder变换求矩阵QR分解】的代码

Householder变换是一种用于矩阵QR分解的经典算法，它通过一系列 Householder反射操作，逐步将矩阵转化为上三角形式。以下是使用C语言实现Householder变换求矩阵QR分解的一个简单示例。这里假设我们有一个m x n的矩阵A，并且m >= n：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// Householder反射操作函数
void householder_reflection(double* A, int i, int m) {
    double v = A[i];
    double norm = sqrt(v * v + A[i + 1] * A[i + 1]);
    if (norm != 0) {
        A[i] /= norm;
        A[i + 1] /= norm;

        // 创建反射向量 u
        for (int j = i + 2; j < m; ++j)
            A[j] -= 2 * v * A[j] / norm;

        // 更新 Householder 变换系数
        A[i] *= -1;
    }
}

// QR分解的主函数
void qr_decomposition(double* A, int m, int n, double** Q, double** R) {
    *Q = malloc((m + 1) * sizeof(double*));  // 分配空间给Q矩阵
    *R = malloc(n * sizeof(double*));       // 分配空间给R矩阵

    // 初始化Q和R
    for (int i = 0; i <= m; ++i) {
        (*Q)[i] = malloc(m * sizeof(double));
        (*R)[i] = &(*A)[i*n];
    }

    for (int k = 0; k < n; ++k) {
        int max_index = k;
        for (int i = k+1; i < m; ++i) {
            if (fabs((*Q)[i][k]) > fabs((*Q)[max_index][k])) {
                max_index = i;
            }
        }
        
        householder_reflection(&(*A)[k], max_index, m);
        
        // 应用Householder反射到后续列
        for (int j = k; j < m; ++j) {
            double factor = (*Q)[max_index][j];
            for (int l = k; l < m; ++l)
                (*A)[j][l] -= factor * (*A)[max_index][l];
        }
    }

    // 省略对角线元素为1的调整步骤
    // ...

    printf("QR decomposition completed.\n");
}

// 示例
int main() {
    int m = 4, n = 3;
    double A[12] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12};  // 输入3x4矩阵
    double* Q, *R;

    qr_decomposition(A, m, n, &Q, &R);
    // ... 这里可以处理得到的QR分解结果
    free(Q);
    free(R);

    return 0;
}

这个代码片段展示了如何使用Householder变换对一个3x4的矩阵进行QR分解。实际应用中，你需要添加更多的细节，如错误检查、对角化后的调整等。