小蓝要用 $N$ 个数字 $2$ 和 $M$ 个数字 $3$ 拼出一个 $N+M$ 位的整数。请你计算小蓝能拼出的最大的 $2023$ 的倍数是多少？

为了计算小蓝能拼出的最大的 $2023$ 的倍数，我们可以使用动态规划的方法。

首先，我们需要找出一个规律。观察 $2023$ 的倍数的末尾几位数，我们可以发现以下规律：

- $2023$ 的倍数的末尾 $4$ 位数一定是 $2023$ 的倍数；
- $2023$ 的倍数的末尾 $8$ 位数一定是 $2023$ 的倍数；
- $2023$ 的倍数的末尾 $12$ 位数一定是 $2023$ 的倍数；
- ...

根据这个规律，我们可以得出结论：如果小蓝能够拼出的数字中包含至少 $4$ 个数字 $2$ 和 $7$ 个数字 $3$，那么拼成的整数一定是 $2023$ 的倍数。因为 $4$ 个数字 $2$ 和 $7$ 个数字 $3$ 一共可以组成 $11$ 位数，而 $11$ 是 $2023$ 的倍数。

所以，我们的目标是找到满足以上条件的最大的数字。

接下来，我们使用动态规划的思想来解决这个问题：
设 $dp[i][j]$ 表示使用 $i$ 个数字 $2$ 和 $j$ 个数字 $3$ 能组成的最大整数。其中，$0 \leq i \leq N$，$0 \leq j \leq M$。

我们可以得到以下状态转移方程：
$$
dp[i][j] = \max(dp[i-1][j] \times 10 + 2, dp[i][j-1] \times 10 + 3)
$$

最终的答案即为 $dp[N][M]$。

下面是使用 Python 代码实现上述算法：

def max_multiple(N, M):
    dp = [[0] * (M+1) for _ in range(N+1)]

    # 初始化第一行和第一列
    for i in range(1, N+1):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] * 10 + 2
    for j in range(1, M+1):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] * 10 + 3

    # 动态规划求解
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(1, M+1):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j] * 10 + 2, dp[i][j-1] * 10 + 3)

    return dp[N][M]

N = 4
M = 7
result = max_multiple(N, M)
print(result)

将 $N$ 和 $M$ 分别替换为题目给出的数字，运行代码即可得到结果。