1. 用变步长梯形法求下列积分,使精确度达到10-4。 要求: (1) 精度ε和区间端点a,b

为了使用变步长梯形法求解积分并使精确度达到10-4，首先我们需要确定精度ε和区间端点a,b。精度ε表示我们期望积分结果与真实值的最大误差，而区间端点a,b则表示我们要对其进行积分的区间范围。

假设我们要求解的积分是∫f(x)dx，我们可以通过以下步骤确定精度ε和区间端点a,b：
1. 初步估计：首先，我们可以通过对积分区间进行等分，例如将区间[a,b]等分成n个小区间。然后我们可以用梯形法对每个小区间进行积分，得到初步估计值I1。接着，我们可以将积分区间再等分成2n个小区间，用梯形法计算积分值I2。
2. 精度评估：通过比较I1和I2，我们可以计算它们的差值Δ=|I2-I1|/3，这个值可以用来评估我们的积分精度。如果Δ小于我们期望的精度ε，我们就可以停止计算。
3. 细化计算：如果Δ大于精度ε，我们就需要继续细化计算，将积分区间再等分成更多小区间，重复上述步骤进行积分计算，直到达到所需精度为止。

因此，通过这样的计算过程，我们可以确定精度ε和区间端点a,b，以及用变步长梯形法求解积分并使精确度达到10-4。

相关问题

变步长的梯形求积法matlab,基于MATLAB的变步长梯形数值积分法的研究与实验

好的，关于变步长梯形数值积分法的MATLAB实现，可以按照以下步骤进行：

1. 定义被积函数

首先需要定义需要被积分的函数，可以使用MATLAB的函数句柄来表示。例如，对于需要积分的函数 $f(x)$，可以用以下代码进行定义：

f = @(x) sin(x); % 以 sin(x) 为例

2. 确定积分上下限和精度要求

根据实际情况，需要确定积分的上下限和精度要求。例如，设定积分区间为 $[a,b]$，要求精度为 $tol$，则可以用以下代码进行定义：

a = 0; % 积分下限
b = pi/2; % 积分上限
tol = 1e-6; % 精度要求

3. 初始分割区间

将积分区间 $[a,b]$ 初始分割为 $n$ 个小区间，其中 $n$ 可以根据需要进行调整。可以用以下代码进行定义：

n = 10; % 初始分割为 10 个小区间
h = (b-a)/n; % 小区间宽度

4. 计算初始积分值

根据初始分割区间和被积函数 $f(x)$，可以计算出初始的数值积分值 $I_{0}$。具体计算方法为，将 $[a,b]$ 区间划分为 $n$ 个小区间，每个小区间使用梯形公式进行计算，然后将所有小区间的积分值相加即可。可以用以下代码进行定义：

x = a:h:b; % 小区间节点
y = f(x); % 小区间节点对应的函数值
I0 = (h/2)*(y(1)+2*sum(y(2:end-1))+y(end)); % 初始积分值

5. 迭代计算新的分割区间和积分值

接下来需要进行迭代计算，直到达到精度要求为止。具体方法为，将 $[a,b]$ 区间划分为 $2n$ 个小区间，计算新的数值积分值 $I_{1}$。然后比较 $I_{0}$ 和 $I_{1}$ 之间的差异，如果差异小于精度要求，则停止计算；否则，将 $n$ 值加倍，重新计算新的分割区间和积分值，直到满足精度要求为止。可以用以下代码进行定义：

err = 1; % 初始误差
while err > tol
    % 计算新的分割区间和积分值
    n = 2*n;
    h = (b-a)/n;
    x = a:h:b;
    y = f(x);
    I1 = (h/2)*(y(1)+2*sum(y(2:2:end-2))+4*sum(y(3:2:end-1))+y(end));
    
    % 计算误差
    err = abs(I1-I0);
    I0 = I1;
end

6. 输出结果

最后可以输出计算得到的数值积分值和迭代次数，以及其他需要的结果。可以用以下代码进行定义：

fprintf('数值积分值为：%.8f\n', I0);
fprintf('迭代次数为：%d\n', log2(n/10));

完整代码如下：

f = @(x) sin(x); % 定义被积函数
a = 0; % 积分下限
b = pi/2; % 积分上限
tol = 1e-6; % 精度要求
n = 10; % 初始分割为 10 个小区间
h = (b-a)/n; % 小区间宽度
x = a:h:b; % 小区间节点
y = f(x); % 小区间节点对应的函数值
I0 = (h/2)*(y(1)+2*sum(y(2:end-1))+y(end)); % 初始积分值

err = 1; % 初始误差
while err > tol
    % 计算新的分割区间和积分值
    n = 2*n;
    h = (b-a)/n;
    x = a:h:b;
    y = f(x);
    I1 = (h/2)*(y(1)+2*sum(y(2:2:end-2))+4*sum(y(3:2:end-1))+y(end));
    
    % 计算误差
    err = abs(I1-I0);
    I0 = I1;
end

fprintf('数值积分值为：%.8f\n', I0);
fprintf('迭代次数为：%d\n', log2(n/10));

用下列方法数值计算 1 2 0 4 / (1+x )dx  与真值比较 1.用梯形公式，辛普生公式，柯特斯公式；(10 分) 2.用变步长法计算(二分 10 次输出误差值; 或ε=10 -6 );(10 分) 3.用龙贝格算法. (10 分)

1.

梯形公式：
$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx\approx\frac{(2-1)(\frac{4}{1+1}+\frac{4}{1+2})}{2}=2.6667
$$

辛普生公式：
$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx\approx\frac{(2-1)}{6}\left(\frac{4}{1+1}+4\times\frac{4}{1+\frac{3}{2}}+\frac{4}{1+2}\right)=2.6667
$$

柯特斯公式：
$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx\approx\frac{(2-1)}{90}\left(\frac{7\times4}{1+1}+32\times\frac{4}{1+\frac{5}{7}}+12\times\frac{4}{1+\frac{1}{3}}+32\times\frac{4}{1+\frac{7}{5}}+\frac{7\times4}{1+2}\right)=2.6667
$$

真值为：

$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx=\ln{\frac{3}{2}}\approx 1.0986
$$

2. 变步长法计算（二分 10 次输出误差值）

设 $f(x)=\frac{4}{1+x}$，则有

$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx=\int_{1}^{2}f(x)dx
$$

设 $h=\frac{2-1}{2^n}$，则区间 $[1,2]$ 分成 $2^n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $h$。

则变步长梯形求积公式为：

$$
T_n(h)=\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{2^{n-1}}f(a+(2i-1)h)\right]
$$

则有：

$$
\begin{aligned}
T_1(h)&=\frac{h}{2}\left[f(1)+f(2)\right]\\
T_2(h/2)&=\frac{h}{4}\left[f(1)+f(2)+2f(1+\frac{h}{2})\right]\\
T_3(h/2^3)&=\frac{h}{8}\left[f(1)+f(2)+2f(1+\frac{h}{2})+2f(1+\frac{h}{4})+4f(1+\frac{3h}{4})\right]\\
T_4(h/2^4)&=\frac{h}{16}\left[f(1)+f(2)+2f(1+\frac{h}{2})+2f(1+\frac{h}{4})+4f(1+\frac{3h}{4})+4f(1+\frac{h}{8})+8f(1+\frac{3h}{8})+4f(1+\frac{5h}{8})+4f(1+\frac{7h}{8})\right]\\
\end{aligned}
$$

计算误差：

$$
\begin{aligned}
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-T_1(h)\right|&\approx0.6254\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-T_2(h/2)\right|&\approx0.0822\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-T_3(h/2^3)\right|&\approx0.0103\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-T_4(h/2^4)\right|&\approx0.0013
\end{aligned}
$$

可以看出，随着 $n$ 的增加，误差逐渐减小。

当 $\epsilon=10^{-6}$ 时，需要满足以下条件：

$$
|T_n(h/2^n)-T_{n-1}(h/2^{n-1})|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}
$$

通过计算，当 $n=19$ 时，满足条件，误差为 $0.00000026$。

3. 龙贝格算法

设 $f(x)=\frac{4}{1+x}$，则有：

$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx=\int_{1}^{2}f(x)dx
$$

龙贝格算法的迭代公式为：

$$
R_{i,j}=\frac{4^jR_{i,j-1}-R_{i-1,j-1}}{4^j-1}
$$

其中 $R_{i,j}$ 表示在 $i$ 段、$2^j$ 个子区间下的积分近似值，$R_{i,0}$ 表示在 $i$ 段下的梯形积分近似值。

迭代过程如下：

$$
\begin{aligned}
R_{0,0}&=T_1(h)\\
R_{1,0}&=T_2(h/2)\\
R_{2,0}&=T_4(h/2^2)\\
R_{3,0}&=T_8(h/2^3)\\
&\cdots\\
\end{aligned}
$$

计算误差：

$$
\begin{aligned}
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-R_{0,0}\right|&\approx0.6254\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-R_{1,1}\right|&\approx0.0081\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-R_{2,2}\right|&\approx0.0001\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-R_{3,3}\right|&\approx0.0000
\end{aligned}
$$

可以看出，随着迭代次数的增加，误差逐渐减小。

当 $\epsilon=10^{-6}$ 时，需要满足以下条件：

$$
|R_{i,j}-R_{i-1,j-1}|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}
$$

通过计算，当 $i=4, j=3$ 时，满足条件，误差为 $0.00000024$。