$\dot{V}=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i| \leq 0$我没看明白

抱歉，我的表述可能有些含糊。我来解释一下这个式子的含义。

首先，我们知道李雅普诺夫函数的导数$\dot{V}$应该小于等于零，才能证明系统是稳定的。因此，我们需要计算$\dot{V}$的值，看看它是否小于等于零。

根据李雅普诺夫函数的定义，$V=\sum_{i=1}^n V_i(t)$，其中$V_i(t)=\frac{m_i}{2}\sigma_i^2$，$m_i$是一个正常数，用于控制每个维度上的权重。因此，我们可以计算出李雅普诺夫函数的导数为：

$$\begin{aligned} \dot{V} &= \sum_{i=1}^n \frac{d}{dt}\left(\frac{m_i}{2}\sigma_i^2\right) \\ &= \sum_{i=1}^n m_i \sigma_i \dot{\sigma_i} \end{aligned}$$

接下来，我们将滑模面的表达式代入上式，得到：

$$\begin{aligned} \dot{V} &= \sum_{i=1}^n m_i \sigma_i \dot{\sigma_i} \\ &= -\sum_{i=1}^n m_i k_1 \sigma_i |e_i| \\ &= -\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i| \end{aligned}$$

这里用到了滑模控制器的表达式$u_i=-\mathrm{sign}(\sigma_i)k_1|e_i|$。由于$\sigma_i$等于$e_i+\dot{e_i}$，因此$\dot{\sigma_i}=\ddot{e_i}$。将$u_i$的表达式代入$\dot{\sigma_i}$的表达式，可以得到$\dot{\sigma_i}=-k_1|e_i|$，因此$\dot{\sigma_i}$等于$-k_1|e_i|$。将$\dot{\sigma_i}$的表达式代入$\dot{V}$的表达式，可以得到$\dot{V}=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 \sigma_i |e_i|=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i|$。

由于$k_1$是一个正的常数，而$|e_i|^2$也是非负的，因此$k_1|e_i|^2$是非负的。因此，$k_1|e_i|^2$的符号等于$e_i$的符号，即$\mathrm{sign}(e_i)|e_i|^2$。因为$\mathrm{sign}(e_i)$等于$\mathrm{sign}(\sigma_i)$，所以$-\mathrm{sign}(\sigma_i)|e_i|$的符号与$e_i$相反。因此，$u_i$的符号与$e_i$相反，从而保证了滑模面的稳定性。

因此，我们可以得到$\dot{V}=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i| \leq 0$，证明了滑模控制器的李雅普诺夫函数是一个下降函数，即$\dot{V}\leq 0$。