已知一个向量及夹角 求另一个向量
时间: 2024-05-28 08:01:47 浏览: 38
可以利用向量的基本运算和三角函数来求解。
假设已知向量 $\vec{a}$ 和夹角 $\theta$,要求另一个向量 $\vec{b}$。
首先,根据向量的长度和方向可以用极坐标表示向量:
$$
\vec{a} = a\cos \alpha \vec{i} + a\sin \alpha \vec{j} = (a,\alpha)
$$
其中 $\alpha$ 是向量与 $x$ 轴正方向的夹角。
由于向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 夹角为 $\theta$,因此可以得到:
$$
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$
其中 $\cdot$ 表示向量的点积运算。注意到向量 $\vec{a}$ 已知,因此可以求得 $|\vec{a}|$ 和 $\alpha$。又因为向量 $\vec{b}$ 的长度也是未知的,因此可以设向量 $\vec{b}$ 的极坐标表示为 $(b,\beta)$,代入上式得到:
$$
\cos \theta = \frac{a\cos \alpha \cdot b\cos \beta + a\sin \alpha \cdot b\sin \beta}{ab}
$$
化简后可得:
$$
\cos \theta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
$$
利用三角函数的和角公式,可以得到:
$$
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
$$
因此,可以得到:
$$
\cos (\alpha - \beta) = \cos \theta
$$
由此可以解出 $\beta$:
$$
\beta = \alpha \pm \arccos \cos \theta
$$
注意到 $\cos \theta$ 的值域为 $[-1,1]$,因此 $\arccos$ 的值域为 $[0,\pi]$。根据向量的几何意义,可以确定 $\beta$ 的正负号:
- 当 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角小于 $180^\circ$ 时,$\beta = \alpha + \arccos \cos \theta$。
- 当 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角大于 $180^\circ$ 时,$\beta = \alpha - \arccos \cos \theta$。
最后,利用向量的极坐标表示,可以得到向量 $\vec{b}$ 的笛卡尔坐标表示:
$$
\vec{b} = b\cos \beta \vec{i} + b\sin \beta \vec{j} = (b\cos \beta, b\sin \beta)
$$
这样就求得了向量 $\vec{b}$。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)