matlab用线性插值画f(x)=1/(1+x^2) 函数图像 代码

在MATLAB中，你可以使用` interp1`函数来进行线性插值绘制函数图像。对于函数 `f(x) = 1 / (1 + x^2)`，这里是一个简单的示例代码：

% 定义x范围
x = -10:0.01:10; % 从-10到10，步长为0.01

% 计算y值，使用线性插值法计算f(x)
y = 1 ./ (1 + x.^2); 

% 创建图形窗口并绘制曲线
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2); % 绘制函数图
xlabel('x'); % X轴标签
ylabel('f(x) = 1 / (1 + x^2)'); % Y轴标签
title('Linear Interpolation of f(x) = 1/(1+x^2)'); % 图形标题

% 添加网格线
grid on;

% 显示图像
hold on; % 保持当前图形状态以便添加更多点
scatter(x, y, 'filled', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 5); % 在原点处添加一个红点表示(0,1)
hold off; % 结束图形保持状态

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相关问题

用一个完整的matlab代码验证函数f(x)=1/(1+x^2)在区间[-5,5]上取等距插值节点xj=+-j,j=1,2,3,4,5 时的10次Lagrange插多项式近似会出现龙格现象，为了改进逼近效果请分别利用分段线性插值和分段二次插值近似.

在MATLAB中，我们可以编写一段代码来验证给定函数f(x) = 1 / (1 + x^2)，并在指定区间[-5, 5]上采用等间距插值节点xj = ±j, j = 1, 2, 3, 4, 5，并计算10次Lagrange插值。接着，我们使用分段线性和分段二次插值来改进效果。以下是完整的代码示例：

% 定义函数
function y = my_function(x)
    y = 1 ./ (1 + x .^ 2);
end

% 插值节点
x_nodes = [-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5];
y_nodes = zeros(size(x_nodes));

% 计算Lagrange插值
for i = 1:length(x_nodes)
    for j = 1:i
        if i ~= j
            y_nodes(i) = y_nodes(i) - (x - x_nodes(j)) .* y_nodes(j) ./ (x_nodes(i) - x_nodes(j));
        end
    end
    y_nodes(i) = y_nodes(i) * my_function(x_nodes(i));
end

% 显示原始Lagrange插值结果
figure;
plot(x_nodes, y_nodes, 'o', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Lagrange Interpolation');
hold on;

% 分段线性插值
[xi, yi] = linspace(min(x_nodes), max(x_nodes), 101); % 创建更细的网格
linear_approx = interp1(x_nodes, y_nodes, xi, 'spline'); % 使用分段线性插值
plot(xi, linear_approx, '-k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Segmented Linear Interpolation');

% 分段二次插值
[qi, qi_values] = splprep(x_nodes, y_nodes, 'method', 'pchip'); % 使用PCHIP算法
quadratic_approx = splev(xi, qi, qi_values); % 进行分段二次插值
plot(xi, quadratic_approx, '--r', 'DisplayName', 'Segmented Quadratic Interpolation');

% 设置图例和标题
legend('show');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Lagrange, Segmental Linear & Quadratic Approximations');

% 相关问题 --

给定函数f(x)=1/(1+x^2)，在区间[-5,5]上取n+1等距节点 x=-5+10/(k=0,1,.,n)通过Matlab 代码实现拉格朗日插值 (或牛顿插值)、分段线性插值和三次样条插值。将插值结果通过图形呈现，并从结果中得到什么结论，谈谈你的理解。

在MATLAB中，我们可以使用内置函数如`linspace`生成等间距的节点，然后分别应用拉格朗日插值、分段线性插值（也称为线性插值）和三次样条插值对给定函数 `f(x) = 1 / (1 + x^2)` 进行逼近。

首先，我们设置x范围 [-5,5] 和 n+1 个等距节点：

n = 5; % 例如选择5个节点，你可以根据需要调整
x = -5 + 10 * (0:n)'/n; % 等差序列

接下来，我们将计算每个节点处的函数值并存储到向量中：

y = 1 ./ (1 + x .^ 2); % 计算函数值

### 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）
拉格朗日插值公式可以手动编写，但对于大量数据点效率较低，我们可以使用`polyfit`和`polyval`函数：

% 拉格朗日多项式
p_L = polyfit(x, y, n);
y_interp_L = polyval(p_L, linspace(-5, 5, 100)); % 插值在更密集的点

### 分段线性插值（Piecewise Linear Interpolation）
对于线性插值，可以直接使用 `interp1` 函数：

y_interp_Lin = interp1(x, y, linspace(-5, 5, 100));

### 三次样条插值（Spline Interpolation）
MATLAB提供`spline`函数，用于创建光滑的样条插值：

spline_x = spline(x, y, linspace(-5, 5, 100));
y_interp_Spline = spline_x;

最后，绘制函数及其三种插值形式：

plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2) % 原始数据点
hold on
plot(linspace(-5, 5, 100), y_interp_L, 'r', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Lagrange')
plot(linspace(-5, 5, 100), y_interp_Lin, 'b', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Linear')
plot(linspace(-5, 5, 100), y_interp_Spline, 'g', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Spline')
legend('Data Points', 'Lagrange', 'Linear', 'Spline')
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Interpolation of f(x) = 1/(1+x^2)')
hold off

观察图形，我们可以得出以下结论：
1. **精度**：拉格朗日插值通常会产生数值不稳定的结果，而线性插值简单直观，但在曲率大的部分可能不够准确；三次样条插值则能较好地保持平滑度同时提高精确性。
2. **连续性**：线性插值是跳跃式的，而样条插值是连续的，这意味着样条曲线在每个插值点都是光滑连接的。
3. **复杂性**：拉格朗日插值和三次样条插值的计算复杂性较高，特别是随着节点数增加。

通过比较插值曲线和原始函数，可以评估插值方法的有效性和适应性。