求解function RungeKutta fprintf('\n \n') a=0;b=0.2;x0=0; n=10; h=(b-a)/n; fprintf('t(i+1) x(i+1)'); fprintf('\n%10.9f %10.9f \n',a,x0); t(1)=a; x(1)=x0; for i=1:n t(i+1)=t(i)+h; K1=f(t(i)+h/2,x(i)); K2=f(t(i)+h/2,x(i)+(h/2)*K1); K3=f(t(i)+h/2,x(i)+(h/2)*K2); K4=f(t(i+1),x(i)+h*K3); x(i+1)=x(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4); fprintf('\n%10.9f %10.9f \n',t(i+1),x(i+1)); end
时间: 2023-08-13 08:05:06 浏览: 42
这个代码实现了用经典的四阶龙格-库塔法(Runge-Kutta方法)求解常微分方程的数值解。具体来说,它解决了如下形式的初值问题:
$$ \begin{cases} y'=f(t,y) \\ y(a)=y_0 \end{cases} $$
其中 $f$ 是一给定函数,$a$ 和 $y_0$ 是已知的初值,$y$ 是未知的函数。
代码中的 `RungeKutta` 函数实现了龙格-库塔法的迭代过程,包括计算每个步长 $h$ 上的数值解 $x_{i+1}$,并输出在每个点 $(t_{i+1},x_{i+1})$ 处的数值解。其中,$t_i=a+i\times h$ 是离散化后的时间点,$x_i$ 是第 $i$ 步的数值解。函数 `f` 实现了方程右侧的非线性函数,即 $f(t,x)$。
在这个例子中,方程右侧的非线性函数是
$$ f(t,x)=(6.22\times 10^{-19})\times (2\times 10^3-0.5x)^2 \times (2\times 10^3-0.5x)^2 \times (3\times 10^3-0.75x)^3 $$
这个函数实际上是一个物理问题的模型,但这并不影响我们理解代码的核心思想。
解释代码的具体内容如下:
1. `fprintf('\n \n')`:这行代码输出两个换行符,使输出结果更加美观。
2. `a=0;b=0.2;x0=0;`:这行代码定义了问题的初始条件,其中 $a$ 和 $b$ 是时间区间的端点,$x_0$ 是初始条件。
3. `n=10;h=(b-a)/n;`:这行代码定义了离散化后的时间步长 $h$,并计算出离散化后的时间点数 $n$。
4. `fprintf('t(i+1) x(i+1)'); fprintf('\n%10.9f %10.9f \n',a,x0);`:这行代码输出表头,并在第一个时间点 $(t_0,x_0)$ 处输出初始条件的数值解。
5. `t(1)=a;x(1)=x0;`:这行代码初始化时间点数组 $t$ 和数值解数组 $x$。
6. `for i=1:n ... end`:这个循环实现了龙格-库塔法的迭代过程。
7. `t(i+1)=t(i)+h;`:这行代码计算下一个时间点 $t_{i+1}$。
8. `K1=f(t(i)+h/2,x(i));`:这行代码计算 $K_1$。
9. `K2=f(t(i)+h/2,x(i)+(h/2)*K1);`:这行代码计算 $K_2$。
10. `K3=f(t(i)+h/2,x(i)+(h/2)*K2);`:这行代码计算 $K_3$。
11. `K4=f(t(i+1),x(i)+h*K3);`:这行代码计算 $K_4$。
12. `x(i+1)=x(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);`:这行代码计算当前时间点 $x_{i+1}$ 的数值解。
13. `fprintf('\n%10.9f %10.9f \n',t(i+1),x(i+1));`:这行代码输出当前时间点 $(t_{i+1},x_{i+1})$ 的数值解。
14. `function dx=f(t,x) dx=(6.22*10^(-19))*((2*10^3-0.5*x)^2)*((2*10^3-0.5*x)^2)*((3*10^3-0.75*x)^3);`:这个函数实现了方程右侧的非线性函数 $f(t,x)$。