一球从 100m 高度自由下落，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求 它在第 10 次落地时，共经过多少米？第 10 次反弹有多高？

根据题意，第一次下落的距离为100m，第一次反弹的高度为50m，第二次下落的距离为150m，第二次反弹的高度为25m，依此类推，可以得到一个等比数列：100，50，150，75，225，112.5，337.5，168.75，506.25，253.125，...

可以发现，每次下落和反弹的距离之和为当前高度的两倍，因此第 n 次落地时，共经过的距离为前 n-1 次下落和反弹距离之和再加上第 n 次下落的距离，即：

distance(n) = 2 * (100 + 50 + 150 + ... + a(n-1)) + a(n)

其中 a(n) 表示第 n 次反弹的高度。

可以推导出 a(n) = 100 / (2^(n-1))，因此：

distance(n) = 2 * (100 + 50 + 150 + ... + 100 / (2^(n-2))) + 100 / (2^(n-1))

化简可得：

distance(n) = 300 - 100 / (2^(n-1))

将 n=10 代入可得第 10 次落地时共经过的距离为：

distance(10) = 300 - 100 / (2^9) ≈ 597.65625m

第 10 次反弹的高度为：

100 / (2^9) ≈ 0.1953125m

相关问题

在matlab上进行程序设计，一球从100m高度自由下落，每次落地后反跳回原高度的一半。再落下。求它在第10次落地时。共经过多少m?

在MATLAB中，我们可以使用循环结构和数学计算来模拟这个问题。由于球每次落地后都会反弹到前一次高度的一半，这是一个典型的等比数列问题。我们需要先定义球初始的高度和每次落地后的反弹比例，然后计算总行程。

以下是代码的一个例子：

% 初始条件
initial_height = 100; % 球初始高度
bounce_ratio = 0.5; % 每次落地后的反弹比例
total_distance = 0; % 总路程累计

for i = 1:9, % 因为球会在第10次完全停止，所以只计算9次落地
    total_distance = total_distance + initial_height; % 当前下落距离累加
    initial_height *= bounce_ratio; % 更新当前高度
end

final_height = initial_height; % 第10次落地后球停止，最后一次落下不再有反弹，所以添加最后一次下落距离
total_distance = total_distance + final_height;

disp(['球在第10次落地时，总共经过了 ' num2str(total_distance) ' m']);

这段代码会计算从第一次下落到第10次下落为止球所走过的总路程，并在最后一行显示结果。

一球从100m高度自由下落,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下,求它在第10次落地时,共经过多少米?第10次反弹有多高? Matlab

这是一个典型的等比数列问题。当物体每次落地后反弹的高度是前一次的一半，所以我们可以将每个阶段看作是一个等比数列。初始高度为100米，每次反弹后的高度是上一次的一半。

设 \( S_n \) 表示第n次落地时总行程（包括起始和所有下降和反弹），\( H_n \) 表示第n次反弹的高度。对于这个问题：

- 第1次落地时，总行程 \( S_1 = 100m \) （初始下落）
- 第2次落地时，总行程 \( S_2 = S_1 + 50m \) （第一次下落和第二次下落）
- 每次反弹后，行程都是前一次的一半，所以 \( S_{n+1} = S_n + \frac{H_n}{2} \)

由于 \( H_n = \frac{S_n}{2} \)，我们有 \( S_{n+1} = S_n + \frac{S_n}{4} \) 或 \( S_{n+1} = \frac{5}{4}S_n \)。

第10次落地时，总行程为 \( S_{10} \)；第10次反弹的高度为 \( H_{10} = \frac{S_{10}}{2} \)。

现在我们来计算 \( S_{10} \)。由于 \( S_1 = 100 \) 并且每次行程都以 \( \frac{5}{4} \) 的比例增加，可以使用等比数列的公式:

\[
S_{n} = S_1 * r^{(n-1)}
\]
其中 \( r = \frac{5}{4} \)，\( n = 10 \)。

代入公式得到 \( S_{10} \)：

\[
S_{10} = 100 * (\frac{5}{4})^{9}
\]

同时，第10次反弹高度 \( H_{10} \) 是 \( S_{10} \) 的一半：

\[
H_{10} = \frac{1}{2} * S_{10}
\]

让我们用Matlab计算这两个值：

r = 5/4;
S1 = 100; % 初始高度
S10 = S1 * (r^9); % 第10次落地时总行程
H10 = S10 / 2; % 第10次反弹高度

S10, H10

运行这段代码会给出具体的数值结果。