一球从 100m 高度自由下落，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求 它在第 10 次落地时，共经过多少米？第 10 次反弹有多高？

根据题意，第一次下落的距离为100m，第一次反弹的高度为50m，第二次下落的距离为150m，第二次反弹的高度为25m，依此类推，可以得到一个等比数列：100，50，150，75，225，112.5，337.5，168.75，506.25，253.125，...

可以发现，每次下落和反弹的距离之和为当前高度的两倍，因此第 n 次落地时，共经过的距离为前 n-1 次下落和反弹距离之和再加上第 n 次下落的距离，即：

distance(n) = 2 * (100 + 50 + 150 + ... + a(n-1)) + a(n)

其中 a(n) 表示第 n 次反弹的高度。

可以推导出 a(n) = 100 / (2^(n-1))，因此：

distance(n) = 2 * (100 + 50 + 150 + ... + 100 / (2^(n-2))) + 100 / (2^(n-1))

化简可得：

distance(n) = 300 - 100 / (2^(n-1))

将 n=10 代入可得第 10 次落地时共经过的距离为：

distance(10) = 300 - 100 / (2^9) ≈ 597.65625m

第 10 次反弹的高度为：

100 / (2^9) ≈ 0.1953125m

相关问题

(3)matlab一个球从100米高度自由下落,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下,求它

### 回答1：
求这个球在第10次落地时所经过的路程和最后一次落地时的反弹高度。

根据题目，这个球在第一次落地时的高度就是100米，下一次反弹后的高度就是50米，然后再次落地，然后反弹至25米......以此类推，第n次反弹的高度就是100/2^n米。

因此，这个球在第一次落地后的路程就是100米，而它在第二次落地时的路程就应该是200米，这是因为它需要落下去的距离是100米，而上升的距离是50米，总路程为150米。而在第三次落地时，它需要落下去的距离是150米，上升的距离是25米，所以它的总路程就是175米。以此类推，第n次落地时的总路程就是100*(1+2+2^2+...+2^(n-1))米。

这是一个几何级数，它的前n项和是：(2^n-1)*100米

因此，在第10次落地时，它所经过的路程就是：

(2^10-1)*100=102300米

而最后一次落地时的反弹高度就是100/2^10米，即约为0.098米，因为球已经停不下来了，所以我们可以认为它最后的高度是0。

### 回答2：
这是一个典型的物理问题，可以通过公式推导和程序模拟来解决。首先，我们应该知道自由落体运动的基本公式：

$$h=\frac12 g t^2$$

其中$h$为高度，$g$为重力加速度，$t$为时间。在本题中，初始高度为100米，所以有$h_0=100$，每次反弹后高度为原高度的一半，即$h_n=\frac12 h_{n-1}$，其中$n$表示落地次数。

当球从初始高度自由落下时，它会运动一段时间$t_1$，落地后反弹到高度$h_1=\frac12 h_0=50$米，然后继续自由落下。我们可以根据公式得到$t_1=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=10$秒。然后球再次自由落下，到达高度$h_2=\frac12 h_1=25$米，这时的时间为$t_2=\sqrt{\frac{2h_1}{g}}=5$秒。以此类推，第$n$次落地的时间和高度分别为：

$$t_n=\sqrt{\frac{2h_{n-1}}{g}}$$

$$h_n=\frac12 h_{n-1}$$

我们可以使用MATLAB编写一个循环来模拟球的运动过程，代码如下：

g = 9.8;
h(1) = 100;
t(1) = 0;
for n = 2:10
    t(n) = t(n-1) + sqrt(2*h(n-1)/g);
    h(n) = h(n-1)/2;
end
plot(t,h,'o-')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Height (m)')

运行程序后，我们可以得到球的高度随时间变化的图像，如下图所示：


可以看到，随着反弹次数的增加，球的高度不断变小，最后趋近于0。同时，每次反弹的时间间隔也在逐渐缩短，最后接近于0。由此可知，球最终会停留在地面上。

### 回答3：
首先，我们需要了解下自由落体运动和弹性碰撞运动的相关知识。

自由落体运动指物体在无外力作用下自由下落的运动，其运动规律可以用牛顿第二定律 F=ma，结合重力公式 Fg=mg，表示为 a=g，即加速度为重力加速度 g=9.8m/s^2。

而弹性碰撞运动则是指物体在发生碰撞后发生的运动，其运动规律可以用动量守恒和能量守恒定律来描述。

现在来解决这个问题。我们可以使用 while 循环来模拟球的运动过程，直到球的高度小于等于 0 即停止。

在每次球触地时，球将会反弹回原高度的一半，因此我们可以计算出球下落的距离为 h=100+50+25+...，用等比数列求和公式得到 h=200m。

接着，我们可以利用物理公式求出每次球触地时的速度，以及弹起后的高度和速度。球在弹起时的速度可以用能量守恒定律求出 v=sqrt(2gh)，其中 h=上一次弹起后球的高度，例如第一次弹起后 h=50m。球在弹起后的高度可以用反式推导法求出，即 h_next=h/2，球在弹起后的速度可以用动量守恒定律求出，即 v_next=v/sqrt(2)，其中 v=上一次落地时球的速度。

最后，我们可以将球的高度和速度每次运算后的值记录下来，直到球的高度小于等于 0 为止。我们就可以用 MATLAB 编写程序，模拟出球的运动过程，输出球每次落地时的高度和速度。

matlab 一球从100m高度自由下落，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它在第10次落地时，共经过多少米?第10次反弹有多高?

这个问题可以使用数学公式来解决。首先，球第一次落地时，经过的路程为 100 米。第二次落地时，球先上升了 50 米，然后再下落 100 米，所以经过的路程为 100 + 50 + 100 = 250 米。以此类推，第 n 次落地时，球经过的路程为：

100 + 2 × 50 + 2 × 25 + ... + 2 × (50 / 2^(n-2))

这是一个等比数列求和问题，可以使用等比数列求和公式来解决。公式为：

Sn = a1 × (1 - q^n) / (1 - q)

其中，a1 为第一项的值，q 为公比，n 为项数。对于本题，a1 = 100，q = 1/2，n = 10。将这些值代入公式中，得到：

Sn = 100 × (1 - (1/2)^10) / (1 - 1/2) ≈ 299.6094 米

所以，球在第 10 次落地时，共经过了约 299.6094 米。

第 10 次反弹的高度为球第 9 次落地时的高度的一半，即 100 / 2^9 = 0.1953 米（约为 19.53 厘米）。