求微分方程的解析解,并画出它们的图1) y4)= y, y(0) =y’(0) =2,y”(0)=y’” (0) = 2) x³y’”+x²y”-4xy’=Зx² y(0.1)=y’(0.1)=2,y” (0.1)=1

1) y^4 = y

我们可以将它转化为 y^3 = 1，然后求导得到：

3y^2 * y' = 0

y' = 0

所以 y = C，其中 C 为任意常数。

由边界条件 y(0) = y'(0) = 2，得到 C = 2。

因此，解析解为 y = 2，它的图像为一条水平直线。

2) x³y" + x²y' - 4xy = 0

首先，我们可以将它化为标准形式：

y" + (2/x) y' - (4/x³) y = 0

我们可以猜测一个特解为 y = x^r，然后代入原方程得到：

r(r-1)x^r + 2rx^r - 4x^r = 0

r^2 - 2r + 4 = 0

r = 1 ± i√3

因此，通解为 y = c1 x^（1+i√3）+ c2 x^（1-i√3）。

由边界条件 y(0.1)=2，y'(0.1)=2，y"(0.1)=1，我们可以得到：

c1 + c2 = 2

(1+i√3) c1 + (1-i√3) c2 = 2

(1+i√3)^2 c1 + (1-i√3)^2 c2 = 1

解这个方程组，可以得到：

c1 = (2+2i√3)/12

c2 = (2-2i√3)/12

因此，解析解为：

y = [(2+2i√3)/12] x^（1+i√3）+ [(2-2i√3)/12] x^（1-i√3）。

它的图像比较复杂，可以用计算机绘制。

相关问题

求微分方程的解析解,并画出它们的图形y（4）= y, y(0) =y’(0) =2,y”(0)=y’” (0) =1

微分方程y（4）= y可以写成特征方程r^4-1=0，解得r=1,-1,i,-i。因此通解为y(t) = c1*e^t + c2*e^(-t) + c3*cos(t) + c4*sin(t)。根据初始条件y(0)=y'(0)=2,y''(0)=y'''(0)=1，可以得到c1=c2=1,c3=0,c4=0。因此，该微分方程的解析解为y(t) = e^t + e^(-t)。

下面是y(t) = e^t + e^(-t)的图形：


1．求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y’= y + 2x, y(0) = 1, 0<x<1; matlab

求解微分方程 \(y' = y + 2x\) 的解析解，并画出在区间 \(0 < x < 1\) 上初始条件 \(y(0) = 1\) 的图，可以使用数学分析的方法结合Matlab软件来完成。这个一阶线性非齐次微分方程的通解形式通常是 \(y = C e^x + \int{e^x (2x)} dx\)，其中 \(C\) 是积分常数。

首先，我们可以找到齐次解 \(y_h = Ce^x\)，然后利用待定系数法确定非齐次项 \(2x\) 的特解 \(y_p\)。特解的一般形式可能是 \(Ax + B\)，代入原方程解得 \(A = 2\) 和 \(B = -1\)，所以特解是 \(y_p = 2x - 1\)。

因此，整个解是 \(y = Ce^x + 2x - 1\)。给定初始条件 \(y(0) = 1\)，我们可以求出 \(C\) 的值：

\[1 = C * e^{0} + 2*0 - 1\]
\[1 = C\]

现在我们有了具体的解 \(y(x) = x + 1\)。

在Matlab中，你可以通过下面的步骤来绘制这个函数：

1. 定义变量范围和计算对应的y值：

x = linspace(0, 1); % 创建x的向量
y = x + 1;          % 计算对应于每个x的y值

% 画图
plot(x, y);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('y'' = y + 2x 解析解');

运行这段代码，你会得到曲线 \(y(x)\) 在指定区间的图形。