求微分方程的解析解,并画出它们的图1) y4)= y, y(0) =y’(0) =2,y”(0)=y’” (0) = 2) x³y’”+x²y”-4xy’=Зx² y(0.1)=y’(0.1)=2,y” (0.1)=1
时间: 2023-06-16 20:06:09 浏览: 48
1) y^4 = y
我们可以将它转化为 y^3 = 1,然后求导得到:
3y^2 * y' = 0
y' = 0
所以 y = C,其中 C 为任意常数。
由边界条件 y(0) = y'(0) = 2,得到 C = 2。
因此,解析解为 y = 2,它的图像为一条水平直线。
2) x³y" + x²y' - 4xy = 0
首先,我们可以将它化为标准形式:
y" + (2/x) y' - (4/x³) y = 0
我们可以猜测一个特解为 y = x^r,然后代入原方程得到:
r(r-1)x^r + 2rx^r - 4x^r = 0
r^2 - 2r + 4 = 0
r = 1 ± i√3
因此,通解为 y = c1 x^(1+i√3)+ c2 x^(1-i√3)。
由边界条件 y(0.1)=2,y'(0.1)=2,y"(0.1)=1,我们可以得到:
c1 + c2 = 2
(1+i√3) c1 + (1-i√3) c2 = 2
(1+i√3)^2 c1 + (1-i√3)^2 c2 = 1
解这个方程组,可以得到:
c1 = (2+2i√3)/12
c2 = (2-2i√3)/12
因此,解析解为:
y = [(2+2i√3)/12] x^(1+i√3)+ [(2-2i√3)/12] x^(1-i√3)。
它的图像比较复杂,可以用计算机绘制。
相关问题
求微分方程的解析解,并画出它们的图形y(4)= y, y(0) =y’(0) =2,y”(0)=y’” (0) =1
微分方程y(4)= y可以写成特征方程r^4-1=0,解得r=1,-1,i,-i。因此通解为y(t) = c1*e^t + c2*e^(-t) + c3*cos(t) + c4*sin(t)。根据初始条件y(0)=y'(0)=2,y''(0)=y'''(0)=1,可以得到c1=c2=1,c3=0,c4=0。因此,该微分方程的解析解为y(t) = e^t + e^(-t)。
下面是y(t) = e^t + e^(-t)的图形:
![y(t)](https://i.imgur.com/2B4Z0z1.png)
1、求微分方程的解析解、并画出它们的图形 (1)y(4)=y,y(0)=y’(0)=2,y”(0)=y””(0)=1
根据特征方程 $r^4=1$,有 $r=\pm1, \pm i$,所以可以得到通解为:
$$
y = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 \cos x + c_4 \sin x
$$
带入初始条件 $y(0)=y’(0)=2, y”(0)=y””(0)=1$,得到:
$$
\begin{cases}
c_1 + c_2 + c_3 = 2 \\
c_1 - c_2 + c_4 = 2 \\
c_1 + c_2 - c_3 = 1 \\
c_1 - c_2 - c_4 = 1
\end{cases}
$$
解得 $c_1 = \frac{3}{2}, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = \frac{1}{2}, c_4 = \frac{1}{2}$,因此原微分方程的解析解为:
$$
y = \frac{3}{2} e^x + \frac{1}{2} e^{-x} + \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x
$$
画出其图像如下:
![微分方程解析解图像](https://img-blog.csdnimg.cn/20210603161004561.png)
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