||a+b||<||a||+||b||不等式
时间: 2024-08-15 14:04:04 浏览: 71
向量的模长不等式指出,在实数或复数空间中,两个向量的和的模不会大于这两个向量模长之和。换句话说,对于任意两个向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \),有:
\[ ||\mathbf{a} + \mathbf{b}|| \leq ||\mathbf{a}|| + ||\mathbf{b}|| \]
这个性质基于三角不等式,也就是说,两个向量首尾相接组成的新三角形的边长大于等于原来的两边之和而小于两边之和加上第三边。当且仅当向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 同向或至少其中一个为零向量时,等号成立。
相关问题
Prove that∥p∥1 := |a| + |b| + |c|defines a norm on V .
根据向量范数的定义,要证明∥p∥1是V上的范数,需要满足以下三个条件:
1.非负性:对于任意的p∈V,有∥p∥1≥0,并且当且仅当p=0时,有∥p∥1=0。
2.齐次性:对于任意的p∈V和任意的实数α,有∥αp∥1=|α|∥p∥1。
3.三角不等式:对于任意的p,q∈V,有∥p+q∥1≤∥p∥1+∥q∥1。
首先证明非负性和齐次性:
1.对于任意的p=(a,b,c)∈V,有∥p∥1=|a|+|b|+|c|≥0,并且当且仅当p=0时,有∥p∥1=0。因为|a|、|b|和|c|都是非负数,所以它们的和也是非负数,当且仅当a=b=c=0时,和为0。
2.对于任意的p=(a,b,c)∈V和任意的实数α,有∥αp∥1=|αa|+|αb|+|αc|=|α||a|+|α||b|+|α||c|=|α|(|a|+|b|+|c|)=|α|∥p∥1。
接下来证明三角不等式:
对于任意的p=(a1,b1,c1)和q=(a2,b2,c2)∈V,有p+q=(a1+a2,b1+b2,c1+c2),所以
∥p+q∥1=|a1+a2|+|b1+b2|+|c1+c2|
≤(|a1|+|a2|)+(|b1|+|b2|)+(|c1|+|c2|)
=|a1|+|b1|+|c1|+|a2|+|b2|+|c2|
=∥p∥1+∥q∥1
因此,∥p∥1 := |a| + |b| + |c|是V上的范数。
tensorflow通过10条数据,证明向量a和向量b,||a+b||≤||a||+||b||
可以回答这个问题。这个问题是关于线性代数的,根据柯西-施瓦茨不等式,对于任意两个向量a和b,有||a b||≤||a|| ||b||,其中||a||表示向量a的范数。因此,如果tensorflow通过10条数据证明了这个不等式成立,那么就可以得出结论,向量a和向量b满足不等式。