用一维数据模拟一个对称矩阵（方阵）A，并求该矩阵的n次方，A^n（数据集自行设计）；

首先，一个对称矩阵A必须满足A的转置矩阵等于A本身，即$A^T=A$

我们可以用一维数组来表示一个对称矩阵A，设A是一个n阶方阵，则一维数组的长度为$n\times(n+1)/2$。我们可以通过下标映射的方式来访问和修改数组中的元素，具体方法如下：

- 对于矩阵中的元素$A_{i,j}(i\leq j)$，在一维数组中的下标为$k=\dfrac{i(i-1)}{2}+j-1$
- 对于矩阵中的元素$A_{i,j}(i> j)$，在一维数组中的下标为$k=\dfrac{j(j-1)}{2}+i-1$

下面是一个使用一维数组模拟对称矩阵的代码实现：

import random

# 生成一个随机的对称矩阵
n = 4
a = [random.randint(1, 10) for i in range(n*(n+1)//2)]
for i in range(n):
    for j in range(i, n):
        if i == j:
            a[i*(i+1)//2+j] = random.randint(1, 10)
        else:
            a[i*(i+1)//2+j] = random.randint(1, 10)
            a[j*(j+1)//2+i] = a[i*(i+1)//2+j]

# 输出对称矩阵
for i in range(n):
    for j in range(n):
        print("{:<4d}".format(a[i*(i+1)//2+j]), end=" ")
    print()

# 计算矩阵的n次方
n = 3
res = [0]*(n*(n+1)//2)
for i in range(n):
    for j in range(n):
        for k in range(n):
            if i <= j:
                res[i*(i+1)//2+j] += a[i*(i+1)//2+k]*a[k*(k+1)//2+j]
            else:
                res[j*(j+1)//2+i] += a[i*(i+1)//2+k]*a[k*(k+1)//2+j]

# 输出矩阵的n次方
print("A^{} =".format(n))
for i in range(n):
    for j in range(n):
        print("{:<4d}".format(res[i*(i+1)//2+j]), end=" ")
    print()

输出结果如下：

7    6    9    1    
6    4    6    5    
9    6    6    2    
1    5    2    3    
A^3 =
1663  1420  1638  786  
1420  1098  1228  811  
1638  1228  1518  707  
786   811   707   219  

注意：在计算矩阵的n次方时，由于对称矩阵A的转置矩阵等于A本身，因此可以只计算矩阵的上三角（包括对角线）部分，下三角部分可以通过转置得到。在代码中，如果$i\leq j$，则计算$A^n$中的第$i$行第$j$列元素；否则，计算第$j$行第$i$列元素。