\left\{\begin{array}{c} -\Delta u+u^{3}=1, \quad 0 \leq x, y \leq 1 \\ \left.u\right|_{\partial G}=0 \end{array}\right.
时间: 2023-08-23 16:06:25 浏览: 39
这是一个二维的非线性Poisson方程,可以使用有限元方法进行数值求解。具体地,我们可以将区域 $[0,1]\times [0,1]$ 划分为一些小三角形,然后在每个三角形内逼近 $u$ 的解析解,得到一个线性方程组,最后用常规的线性代数方法求解即可。需要注意的是,由于方程是非线性的,所以需要使用迭代算法,比如牛顿迭代法。
相关问题
使用matlab设计差分格式求解如下的椭圆形方程的代码 \left\{\begin{array}{c} -\Delta u+u^{3}=1, \quad 0 \leq x, y \leq 1 \\ \left.u\right|_{\partial G}=0 \end{array}\right. 和 \left\{\begin{array}{c} -\Delta u+100 u^{3}=1, \quad 0 \leq x, y \leq 1 \\ \left.u\right|_{\partial G}=0 \end{array}\right.
解决偏微分方程的数值方法之一是使用差分格式。下面给出求解这两个椭圆形方程的差分格式的MATLAB代码:
1. 使用五点差分格式求解 $-\Delta u+u^{3}=1$:
```matlab
% 离散化步长
h = 0.01;
% 网格数量
n = 1 / h + 1;
% 构建网格
[x, y] = meshgrid(0:h:1);
% 初始值
u = zeros(n, n);
% 迭代次数
maxIter = 100000;
% 迭代误差
tol = 1e-6;
% 迭代
for k = 1:maxIter
% 差分方程
unew = u;
for i = 2:n-1
for j = 2:n-1
unew(i,j) = (u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) + h^2 - h^2*u(i,j)^3) / 4;
end
end
% 判断迭代是否收敛
if max(max(abs(unew - u))) < tol
break;
end
u = unew;
end
% 绘制结果
surf(x, y, u);
```
2. 使用五点差分格式求解 $-\Delta u+100u^{3}=1$:
```matlab
% 离散化步长
h = 0.01;
% 网格数量
n = 1 / h + 1;
% 构建网格
[x, y] = meshgrid(0:h:1);
% 初始值
u = zeros(n, n);
% 迭代次数
maxIter = 100000;
% 迭代误差
tol = 1e-6;
% 迭代
for k = 1:maxIter
% 差分方程
unew = u;
for i = 2:n-1
for j = 2:n-1
unew(i,j) = (u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) + h^2 - h^2*100*u(i,j)^3) / 4;
end
end
% 判断迭代是否收敛
if max(max(abs(unew - u))) < tol
break;
end
u = unew;
end
% 绘制结果
surf(x, y, u);
```
需要注意的是,这两个差分格式都采用了五点差分格式,即使用了每个点周围的四个点来逼近二阶偏导数。第一个方程中 $u^3$ 的系数为1,而第二个方程中 $u^3$ 的系数为100。
使用matlab设计差分格式求解如下的椭圆形方程的代码 \left{\begin{array}{c} -\Delta u+u^{3}=1, \quad 0 \leq x, y \leq 1 \ \left.u\right|_{\partial G}=0 \end{array}\right.
好的,我们可以使用五点差分格式来离散化这个椭圆形方程。具体地,我们可以将区域 $[0,1]\times [0,1]$ 均匀地划分为 $N+1$ 个点,然后使用如下的差分格式:
$$
-\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h^2}-\frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{h^2}+u_{i,j}^3=1
$$
其中 $h=1/N$ 是网格大小,$u_{i,j}$ 是 $u(x_i,y_j)$ 的近似值。注意到在边界上,我们需要满足 $u_{0,j}=u_{N+1,j}=u_{i,0}=u_{i,N+1}=0$。我们可以将上述差分方程写成一个线性方程组的形式,然后使用MATLAB中的线性代数函数求解即可。
下面是一个MATLAB程序的示例:
```matlab
N = 100; % 将区域均匀地划分为 N+1 个点
h = 1/N;
x = linspace(0,1,N+1);
y = linspace(0,1,N+1);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
u = zeros(N+1,N+1); % 初始化 u 的近似值
% 构造系数矩阵 A 和右端向量 b
A = gallery('poisson', N-1) / h^2;
A = sparse(A);
b = ones(N-1,N-1);
for j = 1:N-1
for i = 1:N-1
b(i,j) = b(i,j) - u(i+1,j+1)^3;
end
end
b = reshape(b, [(N-1)^2, 1]);
% 在边界处设置 u=0
u(1,:) = 0;
u(N+1,:) = 0;
u(:,1) = 0;
u(:,N+1) = 0;
% 使用 MATLAB 中的线性代数函数求解
u_interior = A \ b;
u(2:N,2:N) = reshape(u_interior, [N-1,N-1]);
% 绘制 u 的近似解
surf(X,Y,u)
```
需要注意的是,这个程序只是一个简单的示例,实际上在求解中可能需要使用更加高效的算法和更精细的网格划分来提高计算精度。
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